[論文レビュー] Square-well solution to the three-body problem

A. S. Jensen, E. Garrido+1 more|CERN Bulletin|Aug 15, 1996

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、短距離相互作用を有するs波三体系に対して、正方形井戸ポテンシャルを解けるモデルとして用い、Faddeev方程式の角度部分に対する解析的解を提示する。小距離および大距離における正確な解を導出し、数値的径方向解への高精度な一致を可能にするとともに、Efimov効果を解析的に回復し、特定の二体励起状態条件の下で無限に多くの弱く束縛された状態が出現することを示している。

ABSTRACT

The angular part of the Faddeev equations is solved analytically for s-states for two-body square-well potentials. The results are, still analytically, generalized to arbitrary short-range potentials for both small and large distances. We consider systems with three identical bosons, three non-identical particles and two identical spin-1/2 fermions plus a third particle with arbitrary spin. The angular wave functions are in general linear combinations of trigonometric and exponential functions. The Efimov conditions are obtained at large distances. General properties and applications to arbitrary potentials are discussed. Gaussian potentials are used for illustrations. The results are useful for numerical calculations, where for example large distances can be treated analytically and matched to the numerical solutions at smaller distances. The saving is substantial.

研究の動機と目的

• 短距離相互作用を有する三体系のs状態におけるFaddeev方程式の角度部分に対する解析的取り扱いを開発すること。
• 小距離および大距離の振る舞いを解析的に一致させることで、正方形井戸解を任意の短距離ポテンシャルに一般化すること。
• Efimov効果を解析的に回復し、二体散乱パラメータの関数として無限に多くの束縛状態が連続的に出現・消滅することを示すこと。
• 大距離を解析的に取り扱うことで、数値的解法の精度を向上させるとともに計算コストを低減すること。

提案手法

• 三つの同一のボソンがs波正方形井戸ポテンシャルで相互作用する系に対して、Faddeev方程式の角度部分を解析的に解く。
• 空間の三領域（小距離：有限井戸、中間距離：振動的、大距離：漸近的指数関数的・三角関数的形）における正確な解を導出する。
• 境界での波動関数およびその一次微分の連続性を満たすように、領域間の一致条件を適用し、振幅に関する同次線形系を導出する。
• 固有値条件を行列式 D = 0 の形で表現し、行列要素に大距離での散乱長および位相シフトを含める。
• 大距離における漸近的近似を用いてEfimov条件を回復し、行列式が大距離で概ね対角的になり、固有値が二体束縛状態条件に比例することを示す。
• ガウス型ポテンシャルを用いて結果を図示し、任意のポテンシャルに対して数値的径方向解に解析的大距離解を一致させることの有効性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 短距離相互作用を有する三体系のs状態におけるFaddeev方程式の角度部分は、どのように解析的に解けるか？
• RQ2 正方形井戸ポテンシャルを有する三体系において、小距離・中距離・大距離における波動関数の正確な解析的解は何か？
• RQ3 この枠組みにおいてEfimov効果はどのように解析的に現れるのか？また、無限に多くの束縛状態が出現する条件は何か？
• RQ4 解析的大距離解は、数値的三体計算の精度および効率をどの程度向上させ得るか？
• RQ5 正方形井戸ポテンシャルの結果は、どのように任意の短距離ポテンシャルに一般化可能か？特に、数値的径方向解への一致という文脈で。

主な発見

• 三つの同一のボソンが二体正方形井戸ポテンシャルで相互作用する系に対して、s状態のFaddeev方程式の角度部分が解析的に解かれ、すべての空間領域における正確な波動関数が得られた。
• 大距離における波動関数は三角関数および指数関数の線形結合として表され、漸近的二体および三体相関を反映している。
• 大距離極限においてEfimov効果が解析的に回復され、束縛状態の条件は行列式 D の消滅から導かれる。
• 行列式 D は大距離で概ね対角的となり、固有値は二体束縛状態条件によって決定され、Efimovスケーリングの挙動が確認された。
• 解析的大距離解を用いることで、小距離での数値解に一致させることで、数値計算における大幅な計算コスト削減が可能となった。
• 本手法は三粒子がすべて同一でない系や、二つのスピン1/2フェルミオンと第三粒子からなる系に対しても一般化可能であり、角度部分に同じ解析的枠組みを適用可能である。