[論文レビュー] Squared quadratic Wasserstein distance : optimal couplings and Lions differentiability

Aurélien Alfonsi, Benjamin Jourdain|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 18被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、二乗二次 Wasserstein 距離 $W_2^2(\mu,\nu)$ の任意の最適カップリングが、マルتينゲールカップリングと最適輸送写像 $\mathcal{T}$ に分解されることを確立し、$\sigma \mapsto W_2^2(\sigma,\nu)$ が $\mu$ で Lions 微分可能であることと、写像によって与えられる一意な最適カップリングの存在が同値であることを証明する。この同値性により、最適輸送理論における重要な微分可能性条件が解消され、法則不変汎関数の Fréchet 微分可能性が可測勾配を意味することを確立する確率論的証明が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we remark that any optimal coupling for the quadratic Wasserstein distance $W^2_2(\\mu,\ u)$ between two probability measures $\\mu$ and $\ u$ with finite second order moments on $\\mathbb{R}^d$ is the composition of a martingale coupling with an optimal transport map ${\\mathcal T}$. We check the existence of an optimal coupling in which this map gives the unique optimal coupling between $\\mu$ and ${\\mathcal T}\\#\\mu$. Next, we give a direct proof that $\\sigma\\mapsto W_2^2(\\sigma,\ u)$ is differentiable at $\\mu$ in the Lions sense iff there is a unique optimal coupling between $\\mu$ and $\ u$ and this coupling is given by a map. It was known combining results by Ambrosio, Gigli and Savar\\'e and Ambrosio and Gangbo that, under the latter condition, geometric differentiability holds. Moreover, the two notions of differentiability are equivalent according to the recent paper of Gangbo and Tudorascu. Besides, we give a self-contained probabilistic proof that mere Fr\\'echet differentiability of a law invariant function $F$ on $L^2(\\Omega,\\mathbb{P};\\mathbb{R}^d)$ is enough for the Fr\\'echet differential at $X$ to be a measurable function of $X$.

研究の動機と目的

• 二乗二次 Wasserstein 距離 $W_2^2(\mu,\nu)$ の最適カップリングの構造を特定すること。
• $W_2^2(\cdot,\nu)$ が $\mu$ で Lions 微分可能であることと、写像によって与えられる一意な最適カップリングの存在との間の同値性を確立すること。
• 法則不変汎関数の Fréchet 微分可能性が可測勾配を意味することを、自己完結的な確率論的証明で示すこと。
• 幾何的微分可能性、Lions 微分可能性、および最適輸送写像の一意性との関係を明確にすること。

提案手法

• 任意の最適カップリング $\pi$ を、$\mathcal{T}\#\mu$ と $\nu$ 間のマルチンゲールカップリングと、$\mu$ から $\mathcal{T}\#\mu$ への輸送写像 $\mathcal{T}$ の合成に分解する。
• 測度の分解とマコフ核 $k(x,dy)$ の下でのバイアス・バリアンス分解を用いてカップリング構造を導出する。
• シミュレーションの基本定理を適用し、同様の分布を持つ原子を持たない確率空間上での確率変数を構成する。
• 原子を持たない確率空間間のほぼ同型写像の存在を用いて、リフトされた空間間で微分可能性の結果を移動させる。
• Gangbo と Tudorascu (2020) の結果を活用し、Lions 微分可能性と幾何的微分可能性を同等とし、Wasserstein 勾配を同定する。
• 補題 2.4 を適用して、リフトされた汎関数の Fréchet 微分が、法則のもとでの確率変数の可測関数であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二乗二次 Wasserstein 距離 $W_2^2(\mu,\nu)$ が $\mu$ に関して Lions 意味で微分可能であるのはどのような条件下か？
• RQ2 $W_2^2(\mu,\nu)$ の最適カップリング構造は、輸送写像とマルチンゲールカップリングに分解可能か？
• RQ3 $L^2(\Omega,\mathbb{P};\mathbb{R}^d)$ 上の法則不変汎関数の Fréchet 微分可能性は、その微分が下流の確率変数の可測関数であることを保証するのに十分か？
• RQ4 Lions 微分可能性、幾何的微分可能性、および最適輸送写像の一意性の間にはどのような関係があるか？
• RQ5 $W_2^2(\cdot,\nu)$ の $L$-微分可能性は、原子を持たない基礎確率空間の選択に依存するか？

主な発見

• 任意の $W_2^2(\mu,\nu)$ の最適カップリングは、$\mathcal{T}\#\mu$ と $\nu$ 間のマルチンゲールカップリングと、$\mu$ から $\mathcal{T}\#\mu$ への最適カップリングを与える写像 $\mathcal{T}$ の合成である。
• $\mu$ と $\nu$ 間に一意な最適カップリングが写像によって与えられるのは、$\sigma \mapsto W_2^2(\sigma,\nu)$ が $\mu$ で Lions 微分可能であるときかつそのときに限る。
• $L^2(\Omega,\mathbb{P};\mathbb{R}^d)$ 上の法則不変汎関数 $F$ の Fréchet 微分可能性は、その微分が $X$ の可測関数であることを意味する。
• $f$ の $\mu$ における $L$-微分可能性は、原子を持たない確率空間 $\Omega$ の選択とは独立であり、微分は Wasserstein 勾配 $\nabla_\mu f$ で与えられる。
• $W_2^2(\cdot,\nu)$ が $\mu$ で Lions 微分可能であることは、幾何的微分可能性と同値であり、これらはすべて、写像によって与えられる一意な最適カップリングの存在と同値である。
• $\mu$ における Wasserstein 勾配 $\nabla_\mu f$ は、幾何的意味での上微分と下微分の両方において一意な要素であることを確認し、微分の唯一性を裏付ける。