[論文レビュー] Squarefree values of polynomial discriminants I

Manjul Bhargava, Arul Shankar+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2016

Analytic Number Theory Research参考文献 10被引用数 45

ひとこと要約

本稿は、$n > 1$ のモニック整数係数多項式のうち、判別式が平方因子を持たないものの自然密度が正であることを確立し、その密度が素数ごとの $p$-進密度 $ olimits\lambda_n(p)$ の積 $ olimits\lambda_n = \prod_p \lambda_n(p)$ に等しいことを証明する。さらに、$ olimits\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ がその分数体における整閉包であるようなモニック多項式の密度が $ olimits\zeta(2)^{-1} \approx 60.79\%$ であることを示し、このような多項式および単生数体の漸近的個数におけるパワー保存型誤差項を導出する。

ABSTRACT

We determine the density of monic integer polynomials of given degree $n>1$ that have squarefree discriminant; in particular, we prove for the first time that the lower density of such polynomials is positive. Similarly, we prove that the density of monic integer polynomials $f(x)$, such that $f(x)$ is irreducible and $\mathbb Z[x]/(f(x))$ is the ring of integers in its fraction field, is positive, and is in fact given by $ζ(2)^{-1}$. It also follows from our methods that there are $\gg X^{1/2+1/n}$ monogenic number fields of degree $n$ having associated Galois group $S_n$ and absolute discriminant less than $X$, and we conjecture that the exponent in this lower bound is optimal.

研究の動機と目的

• 高さ順序 $H(f) = \max\{|a_i|^{1/i}\}$ における、$n > 1$ のモニック整数係数多項式で判別式が平方因子を持たないものの自然密度を求める。
• 分数体における整閉包である $ olimits\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ をもつモニック整数係数多項式 $f(x)$ の密度が $ olimits\zeta(2)^{-1}$ に等しいことを証明し、$n$ とは無関係であることを示す。
• $n$ 次の単生 $S_n$-数体で絶対判別式が $X$ 未満であるものの個数に対する下界 $\gg X^{1/2 + 1/n}$ を確立し、その指数が最適であると予想する。
• このような多項式および数体の漸近的個数がパワー保存型誤差項をもつことを示し、従来の境界を改善する。

提案手法

• モニック多項式 $f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n$ に対して、高さ $H(f) = \max\{|a_i|^{1/i}\}$ を定義し、これを数え上げの順序パラメータとする。
• 各素数 $p$ に対して、$ olimits\mathbb{Z}_p$ 上のモニック多項式で判別式が $p^2$ で割り切れないものの $p$-進密度 $ olimits\lambda_n(p)$ を計算し、$ olimits\lambda_n = \prod_p \lambda_n(p)$ を定義する。
• 中国剰余定理と包含除算法を用いて、局所的な $p$-進条件を積の公式を介して大域的密度へと持ち上げる。
• Davenport-Heilbronn の方法と $p$-進積分技術を用い、すべての素数において局所的条件を満たす多項式の個数を数え、パワー保存型誤差項を得る。
• 変換 $x \mapsto x + c$ を用いて、$x^{n-1}$ の係数が 0 である多項式に還元し、数体の表現の一意性を保証する。
• 平方因子を持たない判別式は最大順序および $S_n$-ガロア群を意味することを活用し、判別式の条件と単生性・数体の個数の関係を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さ順序 $H(f) = \max\{|a_i|^{1/i}\}$ における、$n > 1$ のモニック整数係数多項式で判別式が平方因子を持たないものの自然密度は何か？
• RQ2 高さ順序 $H(f) = \max\{|a_i|^{1/i}\}$ における、$n > 1$ のモニック整数係数多項式 $f(x)$ のうち、$ olimits\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ がその分数体における整閉包であるものの割合は何か？
• RQ3 絶対判別式が $X$ 未満である $n$ 次の単生数体でガロア群が $S_n$ であるものの個数はどれくらいか？
• RQ4 絶対判別式が $X$ 未満であるようなこのような単生 $S_n$-数体の個数に対する下界 $\gg X^{1/2 + 1/n}$ は改善可能か、あるいは最適であると示せるか？
• RQ5 平方因子を持たない判別式をもつモニック多項式の個数の漸近的挙動は何か？誤差項は $X$ に対してどのようにスケーリングされるか？

主な発見

• 判別式が平方因子を持たない $n$ 次のモニック整数係数多項式の密度は $\lambda_n = \prod_p \lambda_n(p) > 0$ であり、$n \to \infty$ のとき $\lambda_n \to \lambda \approx 30.7056\%$ に収束する。
• 分数体における整閉包である $ olimits\mathbb{Z}[x]/(f(x))$ をもつモニック整数係数多項式 $f(x)$ の密度は正確に $\zeta(2)^{-1} \approx 60.7927\%$ であり、$n$ とは無関係である。
• 高さ $H(f) < X$ で判別式が平方因子を持たない $n$ 次のモニック整数係数多項式の個数は、$\lambda_n \cdot 2^n X^{n(n+1)/2} + O_\varepsilon(X^{n(n+1)/2 - 1/5 + \varepsilon})$ に等しい。
• 絶対判別式が $X$ 未満である $S_n$-ガロア群をもつ単生 $n$ 次数体の個数は $\gg X^{1/2 + 1/n}$ であり、著者らはこの指数が最適であると予想する。
• $x^{n-1}$ の係数が 0 で、高さ $\leq Y$ で判別式が平方因子を持たないモニック多項式の個数は $\gg Y^{(n-1)(n+2)/2}$ である。これは $s(K)$ が小さい数体の個数に対する下界を示唆する。
• 絶対判別式が $X$ 未満である単生 $S_n$-数体の個数の漸近的挙動は、$\frac{nC_n}{2\zeta(2)} X^{1/2 + 1/n}$ に漸近的になることが予想され、ここで $C_n$ は $ olimits\mathbb{R}^{n-1}$ 内の特定の領域の体積である。