[論文レビュー] Squarefree values of polynomial discriminants II

Manjul Bhargava, Arul Shankar+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2022

Analytic Number Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、整数係数の二進 $n$-次形式で判別式が平方自由であるものの自然密度が初めて正であることを確立し、すべての $n \geq 2$ に対してその密度が存在することを証明し、明示的に計算している。さらに、関連する環がその分数体における最大整域であるような形式の密度を特定し、$\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$ に対する算術的ベルティーニ定理を確立し、有界判別式を持つ $S_n$-数体の数の下界を改善している。

ABSTRACT

We determine the density of integral binary forms of given degree that have squarefree discriminant, proving for the first time that the lower density is positive. Furthermore, we determine the density of integral binary forms that cut out maximal orders in number fields. The latter proves, in particular, an ``arithmetic Bertini theorem'' conjectured by Poonen for $\mathbb{P}^1_\mathbb{Z}$. Our methods also allow us to prove that there are $\gg X^{1/2+1/(n-1)}$ number fields of degree~$n$ having associated Galois group~$S_n$ and absolute discriminant less than $X$, improving the best previously known lower bound of $\gg X^{1/2+1/n}$. Finally, our methods correct an error in and thus resurrect earlier (retracted) results of Nakagawa on lower bounds for the number of totally unramified $A_n$-extensions of quadratic number fields of bounded discriminant.

研究の動機と目的

• 高さで順序付けられた整数係数二進 $n$-次形式で判別式が平方自由であるものの自然密度を求める。
• 関連する環 $R_f$ がその分数体における最大整域であるような非可約二進 $n$-次形式の密度を計算する。
• $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$ に対して未条件な算術的ベルティーニ定理を確立し、Poonenの予想を確認する。
• ガロア群が $S_n$ で絶対判別式が $X$ 未満の $n$ 次数体の数の下界を改善する。
• Nakagawaの二次体上の $A_n$-拡大に関する以前の結果の誤りを是正し、再び有効化する。

提案手法

• 各素数 $p$ において最大である形式の割合を計算するために $p$-進および局所密度の手法を用い、ヘンゼルの補題と $p$ を法とする因数分解の持ち上げを活用する。
• すべての素数における局所密度を組み合わせることで、平方自由判別式を持つ形式のグローバル密度を制御するための篩理論的技法を適用する。
• 関連する環 $R_f$ が最大であるような形式のための洗練された数え上げ法を導入し、$p$ を法とする還元型と $p$-進持ち上げにおける判別式の振る舞いを分析する。
• 係数の $p$-進付値と $p$ を法とする因数分解型に従って形式の空間を分解することで、$p$ で最大である形式の局所密度 $\beta_n(p)$ を計算し、$p$-進解析の結果を用いる。
• 素数における積公式を用いて、平方自由判別式および最大整域のグローバル密度を導出し、オイラー積とリーマンゼータ関数の恒等式を用いる。
• Nakagawaの $A_n$-拡大に関する以前の研究における誤りを是正し、二次体上の非分岐 $A_n$-拡大に関する局所密度の計算を見直し、彼の結果の有効性を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高さで順序付けられた整数係数二進 $n$-次形式で判別式が平方自由であるものの自然密度は、$n \geq 2$ のときどのように求められるか？
• RQ2 関連する環 $R_f$ がその分数体における最大整域であるような非可約整数係数二進 $n$-次形式の密度は何か？
• RQ3 $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$ に対して算術的ベルティーニ定理が成り立つか、すなわち正則な超平面切断の密度が $\zeta(2)^{-1}\zeta(3)^{-1}$ に等しいか？
• RQ4 ガロア群が $S_n$ で絶対判別式が $X$ 未満の $n$ 次数体の数の最良の既知の下界は何か？
• RQ5 Nakagawaの二次体上の非分岐 $A_n$-拡大に関する誤った結果は是正され、再び有効化可能か？

主な発見

• 整数係数二進 $n$-次形式で判別式が平方自由であるものの密度は存在し、素数におけるオイラー積として明示的に計算されており、$n=2$ では約 38.97%，$n=3$ では約 24.64%，$n=4$ では約 21.18%，$n \geq 5$ では約 20.83% である。
• 関連する環 $R_f$ がその分数体における最大整域であるような非可約二進 $n$-次形式の密度は、$n \geq 3$ のとき $\zeta(2)^{-1}\zeta(3)^{-1} \approx 50.57\%$ であり、$n=2$ のとき $\approx 53.59\%$ である。これは $\mathbb{P}^1_{\mathbb{Z}}$ に対する算術的ベルティーニ定理の証明である。
• 絶対判別式が $X$ 未満の $n$ 次数体でガロア群が $S_n$ であるものの数は $\gg X^{1/2 + 1/(n-1)}$ であり、以前の下界 $\gg X^{1/2 + 1/n}$ よりも改善されている。
• 本稿は、Nakagawaの二次体上の $A_n$-拡大に関する再考された研究における誤りを是正し、[19] の定理3〜4および[21] の定理2が非分岐 $A_n$-拡大に対して再び有効であることを回復した。
• $p$ で最大である形式の局所密度 $\beta_n(p)$ は、$n \geq 3$ のとき $\left(1 - \frac{1}{p^2}\right)\left(1 - \frac{1}{p^3}\right)$、$n=2$ のとき $\left(1 - \frac{1}{p}\right)\left(1 + \frac{1}{p} - \frac{1}{p^3}\right)$ に等しく、これはグローバル密度の計算の根拠となっている。
• 主な下界結果で構成されたすべての数体は、平方自由判別式を持つものとしてとれるため、平方自由判別式と最大整域に関する結果が結びつけられている。