[論文レビュー] Squares in Polynomial Product Sequences

Paul Spiegelhalter, Joseph Vandehey|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、整数係数をもつ次数2以上の多項式 $ F(n) $ に対して、積列 $ N_x = \prod_{n \leq x} F(n) $ がどれだけの頻度で完全乗法的数または平方因子を持つ数（squarefull）であるかを調査する。解析的整数論を用い、特にツァラニの篩およびチェボタレフ密度の評価を組み合わせることで、このような積が完全 $ p $-乗数であるのは、$ x \leq X $ のうち高々 $ O(X^c) $ 個（$ c < 1 $）に限られることを示し、特にモニックで既約な二次多項式の場合には、$ N_x $ が平方因子を持つ場合の明示的な上限も得られる。

ABSTRACT

Let F(n) be a polynomial of degree at least 2 with integer coefficients. We consider the products N_x=\prod_{1 \le n \le x} F(n) and show that N_x should only rarely be a perfect power. In particular, the number of x \le X for which N_x is a perfect power is O(X^c) for some explicit c&lt;1. For certain F(n) we also prove that for only finitely many x will N_x be squarefull and, in the case of monic irreducible quadratic F(n), provide an explicit bound on the largest x for which N_x is squarefull.

研究の動機と目的

• 整数係数をもつ次数 ≥2 の多項式 $ F(n) $ に対して、積 $ N_x = \prod_{n \leq x} F(n) $ がどれだけの頻度で完全乗法的数または平方因子を持つ数であるかを特定すること。
• 特定の多項式（例：$ n^2+1 $）に関する先行研究を、より広い多項式のクラスへと拡張すること。
• 積 $ N_x $ が完全乗法的数または平方因子を持つような $ x \leq X $ の個数に対する明示的な上界を確立すること。
• 特に既約因子への分解を考慮した $ F(n) $ の構造を分析し、$ N_x $ が平方因子を持つような $ x $ の個数が有限である条件を同定すること。
• モニックで既約な二次多項式の場合に、$ N_x $ が平方因子を持つような最大の $ x $ に対する有効的で計算可能な上界を提供すること。

提案手法

• ツァラニの篩を用いて、$ F_k(x) = \prod_{i=1}^k F(x+i) $ が完全 $ p $-乗数であるような $ x \leq X $ の個数を推定する。
• チェボタレフ密度定理の評価および指標和の推定を用いて、$ F_k(n) $ が $ p $-乗数であるような素数の分布を制御する。
• ブルン＝ティッチマーシュの定理およびポリャ＝ヴィノグラドフ型の推定を用いて、算術級数内の素数に関する和を評価する。
• 算術級数における素数定理の明示的定数を用いて、$ \sum_{p \leq z, p \equiv a \pmod{q}} \frac{\log p}{p} $ の有効な上界を導出する。
• 補題5.21による二重数え上げ法を用い、多くの $ x $ に対して $ N_x $ が完全 $ p $-乗数であるならば、ある $ F_k(n) $ が多くの $ n $ に対して $ p $-乗数であるはずであり、これは篩の推定と矛盾することを示す。
• 判別式および既約因子の分解型の構造を用いて、$ N_x $ が平方因子を持つような $ x $ の個数を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数係数をもつ次数 ≥2 の多項式 $ F(n) $ に対して、積 $ N_x = \prod_{n \leq x} F(n) $ が完全 $ p $-乗数である頻度はどの程度か？
• RQ2 特に既約因子への分解を考慮した場合、$ F(n) $ がどのような条件下で、$ N_x $ が有限個の $ x $ のみで平方因子を持つ数となるか？
• RQ3 特に $ F(n) $ がモニックで既約な二次多項式である場合に、$ N_x $ が平方因子を持つような最大の $ x $ に対して明示的な上界を与えることができるか？
• RQ4 $ X $ の関数として、$ N_x $ が完全乗法的数であるような $ x \leq X $ の個数はどのように増加するか？ そして、$ O(X^c) $（$ c < 1 $）で抑えられるか？
• RQ5 既約因子の先頭係数および判別式が、$ N_x $ が完全乗法的数または平方因子を持つ値をとる頻度に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の整数係数をもつ次数 ≥2 の多項式 $ F(n) $ に対して、$ N_x $ が完全 $ p $-乗数であるような $ x \leq X $ の個数は、ある明示的な $ c < 1 $ を用いて $ O(X^c) $ で抑えられ、これは $ F $ に依存しない。
• もし $ F(n) $ が有理数 $ s $ および $ G(n) \in \mathbb{Z}[n] $ を用いて $ sG(n)^p $ の形に書けない限り、$ N_x $ が完全 $ p $-乗数であるような $ x \leq X $ の個数は高々 $ O(X^c) $（$ c < 1 $）に限られる。
• モニックで既約な二次多項式 $ F(n) $ の場合、$ N_x $ が平方因子を持つような最大の $ x $ に対する明示的な上界が得られ、具体的には $ O(e^{C \cdot D}) $ の形であり、ここで $ D $ は判別式、$ C $ は有効的に計算可能である。
• $ F(n) $ が線形および二次因子に分解され、先頭係数および判別式に特定の条件を満たす場合、$ N_x $ が平方因子を持つような $ x $ は有限個に限られ、これには二つまたは三つの異なる既約二次多項式の積を含む広い族が含まれる。
• 本手法により、$ F(n) = n^2 + D $ の場合に対しても有効な上界が得られ、$ N_x $ が平方因子を持つのは $ x \leq e^{C \cdot D} $ の場合に限られ、ここで $ C $ は計算可能である。
• 解析により、$ N_x $ が完全 $ p $-乗数であるような $ x \leq X $ の個数は、最悪の場合でも $ O(X^{1/25}) $ で抑えられ、これは篩および数え上げの議論から導出される。