[論文レビュー] SRT22 does not imply RT22 in omega-models

Benoît Monin, Ludovic Patey|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、逆数学における長年の未解決問題を解消し、SRT²₂ のオメガモデルの構成において RT²₂ のモデルでないものを得ることで、オメガモデルの文脈において、安定版のペアに対するラマヌジャンの定理が、完全版を含意しないことを証明した。著者らは、マチアス forcing を精緻化するための、大きさクラスに基づく新規な有効的 forcing の概念を導入し、このようなモデルの構成における正確な制御を可能にした。これは、ジョッカシュが 1972 年に開始した 40 年にわたるプログラムを完了するものである。

ABSTRACT

We complete a 40-year old program on the computability-theoretic analysis of Ramsey's theorem, starting with Jockusch in 1972, and improving a result of Chong, Slaman and Yang in 2014. Given a set $X$, let $[X]^n$ be the collection of all $n$-element subsets of $X$. Ramsey's theorem for $n$-tuples asserts the existence, for every finite coloring of $[ω]^n$, of an infinite set $X \subseteq ω$ such that $[X]^n$ is monochromatic. The meta-mathematical study of Ramsey has a rich history, with several long-standing open problems and seminal theorems, including Seetapun's theorem in 1995 and Liu's theorem in 2012 about Ramsey's theorem for pairs. The remaining question about the study of Ramsey's theorem from a computational viewpoint was the relation between Ramsey's theorem for pairs ($\mathsf{RT}^2_2$) and its restriction to stable colorings ($\mathsf{SRT}^2_2$), that is, colorings admitting a limit behavior. Chong, Slaman and Yang first proved that $\mathsf{SRT}^2_2$ does not formally imply $\mathsf{RT}^2_2$ in a proof-theoretic sense, using non-standard models of reverse mathematics. In this article, we answer the open question whether this non-implication also holds within the framework of computability theory. More precisely, we construct a $ω$-model of $\mathsf{SRT}^2_2$ which is not a model of $\mathsf{RT}^2_2$. For this, we design a new notion of effective forcing refining Mathias forcing using the notion of largeness classes.

研究の動機と目的

• 第二順序算術のオメガモデルにおいて、SRT²₂ が RT²₂ を含意するかどうかという未解決問題を解消すること。
• ジョッカシュが 1972 年に開始した、ペアに対するラマヌジャンの定理の計算可能性的分析を完全化すること。
• 安定彩色への制限が、オメガモデル枠組みにおいて完全なペアに対するラマヌジャンの定理よりも厳密に弱いかを示すこと。
• SRT²₂ と RT²₂ の分離を、オメガモデルにおいて可能にする構成的かつ有効的な forcing 法を提供すること。

提案手法

• 著者らは、マチアス forcing を精緻化し、オメガモデルの構成を制御するための、新たな forcing の概念、すなわち大きさクラスに基づく有効的 forcing を導入した。
• 各条件が、大きな集合の木を通る可能性のあるパスに対応する複数の並列な $\mathbb{Q}$-条件を符号化する部分順序 $\mathbb{P}$ を定義した。
• forcing 条件には、有限文字列の列、集合 $X_\nu$、および $\mathcal{A}$-集合の集合が含まれており、各レベルにおける大きさと一様性を保証する。
• 各側（0 および 1）の要件に関する有効性と forcing 関係を定義し、$\mathbb{P}_n$-条件を用いて各 $\Sigma^0_2$ 要件の達成に向けた進行を追跡した。
• 任意の十分に一般な $\mathbb{P}$-フィルターはパス $\langle P,i \rangle$ を持ち、対応する集合 $G^i = \mathcal{F}(P,i)$ を一般対象として定義した。
• パスに基づく議論により、$G^i$ がすべての $\Sigma^0_2$ 要件を満たし、かつ $\emptyset^\prime$ を超えて PA でないことを示した。これにより、$G^i$ は RT²₂ の解を計算できないことが保証された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第二順序算術のオメガモデルの枠組みにおいて、SRT²₂ は RT²₂ を含意するか？
• RQ2 RT²₂ を満たさないが SRT²₂ を満たすモデルが存在するか。これにより、オメガモデルの文脈において含意関係が成立しないことが示される。
• RQ3 forcing 技法を用いて、このような分離を計算可能または有効的に構成できるか？
• RQ4 $\Sigma^0_2$-正しく保ち、$\emptyset^\prime$ を超えて PA とならないジャンプを避ける forcing の構成により、非含意関係を確立できるか？

主な発見

• この論文は、$\mathsf{SRT}^2_2$ を満たすが $\mathsf{RT}^2_2$ を満たさない $\omega$-モデルを構成した。これにより、$\omega$-モデルにおいて $\mathsf{SRT}^2_2$ が $\mathsf{RT}^2_2$ を含意しないことが証明された。
• 構成には、大きさクラスに基づく新規な有効的 forcing の概念が用いられ、マチアス forcing を精緻化し、一般対象の性質を正確に制御した。
• forcing によって得られた一般集合 $G^i$ は、すべての $\Sigma^0_2$ 要件を満たし、$\emptyset^\prime$ を超えて PA でないため、$\mathsf{RT}^2_2$ の解を計算できない。
• この方法により、$G^i$ は無限集合であり、$\Delta^0_2$ 集合に含まれることが保証され、分離に必要な計算可能性的制約が維持された。
• 証明は相対化可能であり、任意の $\Delta^0_2$ 集合 $A$ に対して成り立つ。これにより、このようなモデルを一般に構成するための方法が確立された。
• この結果は、ジョッカシュ（1972 年）が開始した 40 年にわたる研究プログラムを完了し、ペアに対するラマヌジャンの定理の計算的強度に関する逆数学における主要な未解決問題を解決した。