[論文レビュー] Stabilisation de la formule des traces tordue II: intégrales orbitales et endoscopie sur un corps local non-archimédien; définitions et énoncés des résultats

Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Advanced Algebra and Geometry被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非アーチメデス的局所体の文脈において、ねじれたエンディスコピーと重み付き軌道積分の基礎的定義と主要な結果を確立し、ねじれたトレース公式の安定化を目的としている。非正則な半単純元（例えば単位元）における重み付き軌道積分を、根の対称的取り扱いによって再定義し、誘導およびエンディスコピー的転送と整合性を保つようにし、今後のグローバルな手法とアーチャー理論による証明のための核心的安定化予想を提示する。

ABSTRACT

It is the second article of a series whose final goal is the stabilization of the twisted trace formula. Over a non archimedean field, we define (after Arthur) wheighted orbital integrals and their stable and endoscopic versions. We state the main theorems that will be proved in the following articles. We begin to study the local properties of our integrals, for instance expansion in Shalika germs.

研究の動機と目的

• 非アーチメデス的局所体上でのねじれたトレース公式の幾何的側面において、重み付き軌道積分およびそのエンディスコピー的転送を定義すること。
• アーチャーの定義が非同次元元（例えば単位元）で曖昧であるのを解消するため、係数を複数の根に均等に分配すること。
• 主な安定化予想（特に定理1.10および1.16）を証明なしに提示し、今後のグローバルな議論の土台を築くこと。
• 根系の対称的取り扱いにより、定義が誘導およびエンディスコピー的転送と整合することを保証すること。
• 必要な局所的対象およびその不変性の性質を定義することで、ねじれたトレース公式の完全な安定化の基盤を築くこと。

提案手法

• アーチャーの重み付き軌道積分を再解釈し、不可除根を優先するのではなく、係数 $ k_M^G $ を複数の根（例えば $ \beta $ と $ 2\beta $）に分配する。
• 根系上で関数 $ B $ の族を導入し、$ J_M^G(1,B,f) $ を定義することで、根の長さの正規化を含む定義を一般化する。
• 極限 $ \displaystyle\lim_{x \to 0} \left( J_M^G(\exp(H(x)),f) + (k_M^G - k_M^{G_{2\beta}})l_\beta(x) + k_M^{G_{2\beta}}l_{2\beta}(x) \right)I^G(\exp(H(x)),f) $ を用いて $ J_M^G(1,f) $ を定義し、$ \log|2|_F $ を含む補正項を導入する。
• エンディスコピー的転送にこの枠組みを適用し、$ r_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}} $ を定義し、トーラス間の $ \xi $-写像を介して分布の転送と関連付ける。
• 関数の胚が $ A_{\tilde{M}}(F) $ 上で $ U_{\tilde{M}}^{\tilde{G}} $ の元に同値であることを確立し、エンディスコピー的転送と整合性を保証する。
• $ \xi $-写像の下での項の不変性および $ \tilde{G}^\prime $-エンディスコピー的データの構造を用いて、定数項のレベルで転送と安定化が可換であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれたエンディスコピーの文脈において、非正則な半単純元（例えば単位元）における重み付き軌道積分を一貫して定義する方法は何か？
• RQ2 誘導およびエンディスコピー的転送と整合性を保つために、係数 $ k_M^G $ を複数の根にどのように分配すべきか？
• RQ3 根の長さの正規化（関数 $ B $ を通じて）は $ J_M^G(1,B,f) $ の定義にどのように影響し、安定化において果たす役割は何か？
• RQ4 定数項のレベルで、分布の転送と安定化プロセスが可換であることを保証する条件は何か？
• RQ5 関数の胚が $ A_{\tilde{M}}(F) $ 上でどのように $ U_{\tilde{M}}^{\tilde{G}} $ の元に関連づけられるか？これはエンディスコピー的転送に何を意味するか？

主な発見

• アーチャーの元来のアプローチを修正し、$ l_\beta(x) $ と $ l_{2\beta}(x) $ の両方を含む対称的極限を用いて $ J_M^G(1,f) $ の定義を再定義し、$ \log|2|_F $ の補正項を含む。
• 任意の有理数 $ b>0 $ に対して、$ l\_\beta(bx) $ と $ l\_{2\beta}(bx) $ を用いた新しい定義 $ J_M^G(1,B,f) $ が導入され、極限に $ k_M^G \log|b|_F $ の補正項が加わる。
• $ B $ が根の長さの平方に比例する場合、$ G_{2\beta,B} $ と呼ばれる新しい群（必ずしも部分群ではない）が定義され、補正項に $ k_M^{G_{2\beta,B}} $ を含む新しい極限定義 $ J_M^G(1,B,f) $ が構成される。
• 関数 $ a \mapsto \prod_{i=1}^n \log|\alpha_i(a) - \alpha_i(a)^{-1}|_F $ は $ U_{\tilde{M}}^{\tilde{G}} $ に属することを示し、転送の胚がうまく定義されていることを証明する。
• 転送の定数項が、安定化されたトレース公式の期待と一致し、$ r_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}({\bf M}^\prime, \delta', \tilde{K}) = r_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(\text{transf}^*\delta', \tilde{K}) $ を証明する。
• 安定化予想（定理1.10および1.16）は、グローバルに証明すべき仮定として提示され、定理1.10はアーチャーの結果から導かれ、定理1.16はグローバルな議論を要する。