[論文レビュー] Stabilisation de la formule des traces tordue IX : propriétés des intégrales orbitales pondérées $ω$ equivariantessurlecorpsréel

J. L. Waldspurger|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、実数体上のねじれトレース公式における重み付き軌道積分の安定化を確立し、ω-不変積分とそのエンデスコピック版に焦点を当てる。コンパクト台付き滑らかな関数上のK-有限、Z(G)-不変写像 f ↦ ε_{K̃M}(f) を構成し、その滑らかさ、K-有限性、Z(G)-不変性を証明する。Γ関数に起因する無限個の極の問題に対処するため、極の集合が有限となるように修正された重み付き特性を導入する。

ABSTRACT

In the preceeding article, we have generalized to the twisted case the proposition 3.1 of the third Arthur's article on the stabilization of the trace formula. The base-field was p-adic. Here, we prove the same result over the real base-field. We prove also auxiliary results on the differential equations and the jump's conditions satisfied by the weighted orbital integrals.

研究の動機と目的

• 非p進体から実局所体への重み付き軌道積分の安定化を拡張すること。
• K̃M が K-ねじれ群の K-レヴィ部分群であるとき、K̃G(ℝ) 上のコンパクト台付き滑らかな関数に対して、Z(G)-不変かつ K-有限な写像 f ↦ ε_{K̃M}(f) を構成すること。
• Arthur が ℝ 上で重み付き特性を定義し直した新定義における Γ 関数の無限個の極の問題を、極の集合が有限となるように修正された特性を導入することで解決すること。
• エンデスコピック版の ω-不変積分が、標準版と同一の微分的および解析的性質を満たすことを証明すること。
• 得られる ε_{K̃M}(f) がカスプ的であり、ω に関する絶対収束カスプ形式の空間に属することを確立すること。

提案手法

• 非p進的枠組みを実数の場合に適応させるために、K-ねじれ群 K̃G と K-レヴィ部分群 K̃M を定義する。
• 無限個の極を引き起こす Γ 関数を除去することで、修正された重み付き特性を導入し、極の集合が有限となるように保証する。
• Casimir 要素に対応する微分作用素が、ω-不変積分とエンデスコピック積分の両方に対して同一に作用することを、明示的計算により証明する。
• Z(G)-作用の形式的可換性を用いて、Casimir の結果を Z(G) 全体の要素に拡張し、不変性を保証する。
• 標準的およびエンデスコピックの重み付き積分の両方について、局所的上限およびジャンプ関係を、Arthur および Shelstad の手法に従って確立する。
• コンパクト台付きの重み付き積分 cI_{K̃M}^{K̃G} の変種を、修正された特性を用いて定義し、γ-台が共役に関してコンパクトとなることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き軌道積分の安定化を非p進体から実局所体へどのように拡張できるか？
• RQ2 Arthur が ℝ 上で重み付き特性を定義し直した新定義において、無限個の極を避けるためにどのような修正が必要か？
• RQ3 実群 K̃G(ℝ) 上で、Z(G)-不変かつ K-有限な写像 f ↦ ε_{K̃M}(f) をどのように構成できるか？
• RQ4 ω-不変積分のエンデスコピック版は、標準版と同一の微分的性質、上限、ジャンプ関係を満たすか？
• RQ5 修正された特性を用いて、ℝ 上でコンパクト台付きの重み付き積分を定義できるか？

主な発見

• K-有限関数 f に対して、写像 f ↦ ε_{K̃M}(f) は適切に定義され、滑らかで、K^{M}-有限であり、Z(G)-不変である。
• Z(G) の要素に対応する微分作用素が、ω-不変積分とエンデスコピック積分の両方に対して同一に作用することを、Casimir の計算と形式的可換性により証明した。
• エンデスコピック積分についても、標準積分と一致する局所的上限およびジャンプ関係が確立された。
• 問題となる Γ 関数を除去することで、修正された重み付き特性が定義され、極は有限個に制限された。
• コンパクト台付きバージョン cI_{K̃M}^{K̃G}(γ,ω,f) は適切に定義され、M(ℝ) に関する共役に関して γ-台がコンパクトである。
• 得られる ε_{K̃M}(f) は I_{ac,cusp}(K̃M(ℝ),ω,K) に属しており、カスプ的かつ絶対収束性が確認された。