[論文レビュー] Stabilisation de la formule des traces tordue VI: la partie géométrique de cette formule

Colette Mœglin, Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2014

Holomorphic and Operator Theory参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、数体上の再帰的群に対するねじれトレース公式の幾何的側面を確立し、アーバートの安定化フレームワークをねじれ設定に一般化する。$ω$-等変重み付き軌道積分を導入し、安定分布$SA^{˜ G}(V,\mathcal{O})$を定義し、端末的転送を介して幾何的側面が安定化することを証明。係数は安定な端末的データから回復され、不変トレース公式がねじれの場合に明示的な降下および転送機構を用いて拡張される。

ABSTRACT

This paper is one of a series whose goal is to stabilize the twisted Arthur-Selberg's trace formula. Here we define the objects appearing in the geometric side of the twisted trace formula. We define also the similar stable and endoscopic objects. We state the principal theorems concerning the stabilization of this geometric side. The proofs will be given in forthcoming papers.

研究の動機と目的

• アーバートのトレース公式の安定化プログラムを、$ω$-等変重み付き軌道積分を用いてねじれ設定に拡張すること。
• 安定共役類${\mathcal{O}}$を伴う安定幾何的分布$SA^{˜ G}(V,\mathcal{O})$を定義し、特徴づけること。
• 幾何的側面が、端末的データ上の安定トレース公式の幾何的側面の和として生じることを確立すること。
• 特に、グローバルな正則転送要素の欠如に起因する、グローバルなねじれ端末的理論フレームワークにおける技術的課題を、制御された転送性を持つより大きな空間への埋め込みによって解決すること。

提案手法

• 基本点に依存するが、共役類だけに依存しない、グローバルな$ω$-等変重み付き軌道積分$I_{˜ M}^{˜ G}(\gamma,\omega,f)$を導入する。
• $V$を$˜ G(F)$内の半単純共役類$\mathcal{O}$でグループ化された、グローバルな幾何的分布$A^{˜ G}(V,\mathcal{O},\omega)$を定義する。
• グローバルな降下公式を確立し、$˜ G = G$かつ$\mathcal{O} = \{1\}$のとき、$A^{˜ G}(V,\mathcal{O},\omega)$が標準トレース公式の単位元部分に一致することを示す。
• グローバルな正則要素$\delta$が存在しない状況においても、弱化された関連性条件の下で、ねじれ最大トーラスを用いたグローバルな端末的転送因子を導入する。
• 安定共役類$\mathcal{O}$に対して安定分布$SA^{˜ G}(V,\mathcal{O})$を定義し、端末的データを介した転送恒等式を証明する。
• 局所的類似物からの先行研究に依拠し、端末的重み付き軌道積分が、自身が$ω$-等変重み付き軌道積分であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ねじれの場合にグローバルな正則転送要素が存在しないことから、グローバルな設定におけるねじれトレース公式の幾何的側面をどのように安定化できるか。
• RQ2 グローバルな正則要素$\delta$が存在しないねじれ設定において、正しいグローバルな端末的転送因子の定義は何か。
• RQ3 $ω$-等変重み付き軌道積分は降下においてどのように振る舞い、標準トレース公式とどのように関係するか。
• RQ4 $ω$-等変トレース公式の幾何的側面が、端末的データ上の安定トレース公式の幾何的側面の和として表現可能か。
• RQ5 端末的重み付き軌道積分が自身で$ω$-等変であるための条件は何か。また、これは局所的安定化とどのように関係するか。

主な発見

• 幾何的側面が、係数$SA^{{\bf G}'}(V,\mathcal{O}^{{\bf G}'})$を伴う端末的データ${\bf G}'$の和として表され、端末的転送を介した安定化が証明された。
• $A^{˜ G}(V,\mathcal{O},\omega)$が、$SA^{{\bf G}'}(V,\mathcal{O}^{{\bf G}'})$の転送の和として回復されることにより、降下機構が確立された。
• 端末的重み付き軌道積分が、$ω$-等変重み付き軌道積分であることが示され、グローバルな枠組みとの整合性が確認された。
• グローバルな正則要素$\delta$を要件としないで、ねじれ最大トーラスを用いて、より大きな空間に埋め込むことで、グローバルな転送因子が定義された。
• 主定理（5.10）は、組み合わせ的恒等式（命題6.5）と消滅結果（命題6.6）を組み合わせることで証明され、幾何的側面が標準形に還元された。
• 構成により、ねじれトレース公式の幾何的側面が安定化され、すべての係数および転送が端末的階層と整合的であることが保証された。