[論文レビュー] Stabilisation de la formule des traces tordue VIII: l'application epsilon_tilde{M} sur un corps de base local non-archimédien

Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2014

Holomorphic and Operator Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非アーチメデス的局所体 F 上の再結合的群 $\tilde{G}$ におけるエンデスコピックおよび幾何的重み付き軌道積分の差が、$\tilde{M}$-不変測度値をとる関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ の重みなし軌道積分に等しいような、$\tilde{M}(F)$ 上の関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ の存在を確立する。この関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ はシュワーツ型であり、コンパクト開部分群に関して局所双不変であることが示され、これによりトレース公式の技法を用いて非アーチメデス的設定下での再結合的トレース公式の安定化を最終的に証明できる。

ABSTRACT

It is a step in the proof of the stabilization of the twisted trace formula. We generalize to the twisted case the proposition 3.1 of the third Arthur's paper on the stabilization. That is, consider the difference between an omega-equivariant weighted orbital integral (relative to a Levi subspace of a twisted space) and its endoscopic avatar. Then this difference is the ordinary omega-orbital integral of some function on the Levi subspace. Here, the base-field is non-archimedean.

研究の動機と目的

• 関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ が $\tilde{M}(F)$ 上に存在し、$\tilde{G}$ 上のエンデスコピックおよび幾何的重み付き軌道積分の差が、$\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ の重みなし軌道積分に等しいことを確立すること。
• 軌道積分を定義可能とするために、$\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ が十分な正則性と減衰性を有することを保証すること—具体的には、$M(F)$ の固定コンパクト開部分群に関して局所双不変であり、$\tilde{H}_{\tilde{M}}$ による射影の各ファイバー上でコンパクト台を持つこと。
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ がシュワーツ型であることを証明し、これにより以降のトレース公式への応用における収束性と解析的制御が保証されること。
• エンデスコピック項と幾何的項の差を捉える軌道積分を備えた関数の構成を通じて、非アーチメデス的設定下での再結合的トレース公式の安定化の基礎的段階を築くこと。
• 半単純元の近傍でコンパクトに台を持つ局所的構成と、良好な減衰性を有するグローバル構成とを、partition of unity を用いて結合し、グローバルに良好に振る舞う関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ を得ること。

提案手法

• 重み付き再結合的軌道積分 $I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(\gamma,\omega,f)$ 及びそのエンデスコピック版 $I_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(\gamma,\omega,f)$ を定義し、それらの差を考察する。
• 理論的枠組みとして $c$-軌道積分 ${}^{c}I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}$ を用い、$I^{\tilde{M}}(\gamma,\omega,\epsilon_{\tilde{M}}(f)) = I_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(\gamma,\omega,f) - I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(\gamma,\omega,f)$ を満たす $\tilde{M}(F)$ 上の関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ を構成する。
• $c$-軌道積分が共役に関してコンパクトに台を持つという性質を用い、半単純元の近傍における局所的構成と、グローバルな減衰性を保証する構成とを、partition of unity を用いて結合して、グローバル関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ を定義する。
• 第1.7節で定義された条件を満たすことを示すことにより、$\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ がシュワーツ型であることを証明し、トレース公式への応用における解析的制御を保証する。
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ を $\tilde{M}$ 上にトレース公式を適用し、その軌道積分が安定共役類上で消えることを利用することで、$\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ がカスプ的である、つまりゼロであることを結論づけ、これにより安定化を証明する。
• シャリカの胚とエンデスコピック転送に関する先行研究の結果を活用し、半単純元の近傍で必要な恒等式を満たす局所関数の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エンデスコピックおよび幾何的重み付き軌道積分の差が、$\tilde{M}(F)$ 上の関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ の重みなし軌道積分に等しいような関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ を構成できるか。
• RQ2 軌道積分の収束性と解析的性質を保証するため、$\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ が満たすべき正則性および減衰性の性質は何か。
• RQ3 半単純元の近傍での局所的構成と、良好な減衰性を有するグローバル構成とをどのように組み合わせ、グローバルに定義された関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ を得られるか。
• RQ4 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ がシュワーツ型であることを保証することは可能か。また、その性質はトレース公式への応用にどのような意味を持つのか。
• RQ5 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ がすべての安定分布に対して積分するとゼロになるかどうか。これにより再結合的トレース公式の安定化が示されるか。

主な発見

• 関数 $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ は存在し、すべての強正則な $\gamma \in \tilde{M}(F)$ に対して、恒等式 $I^{\tilde{M}}(\gamma,\omega,\epsilon_{\tilde{M}}(f)) = I_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(\gamma,\omega,f) - I_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(\gamma,\omega,f)$ を満たす。
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ は、$M(F)$ の固定コンパクト開部分群に関して局所双不変であり、軌道積分における共役不変性を保証する。
• $\tilde{H}_{\tilde{M}}: \tilde{M}(F) \to \tilde{{\cal A}}_{\tilde{M}}$ による射影の各ファイバーへの制限は、コンパクト台を持つ。これは軌道積分を定義するために不可欠である。
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ は第1.7節で定義されたシュワーツ型である。これにより、トレース公式への応用における収束性と解析的制御が保証される。
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ は、トレース公式を適用し、降下関係を用いることでカスプ的であることが示され、したがって安定分布に対する積分でゼロになる。
• $\epsilon_{\tilde{M}}(f)$ は、${}^{c}\theta_{\tilde{M}}^{\tilde{G},{\cal E}}(f) - {}^{c}\theta_{\tilde{M}}^{\tilde{G}}(f)$ とコンパクト台を持つ関数の和として表され、その正則性と可積分性が確認される。