[論文レビュー] Stabilisation of Quantum Computations by Symmetrisation

Adriano Barenco, André Berthiaume+4 more|ArXiv.org|Apr 25, 1996

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、R個の冗長な量子ビットコピーを対称部分空間に射影することによる対称化を用いて、量子誤り安定化手法を提案する。複数の量子状態のコピーを対称部分空間に射影することにより、ハードウェアの不正確さに起因するユニタリ誤りと環境のデコherenceに起因する非ユニタリ誤りの両方を抑制し、冗長性Rを増加させることで指数関数的な誤り抑制を達成するが、その代償として、高速に実行されなければならない多項式時間の量子操作を必要とし、大規模計算へのスケーラビリティが制限される。

ABSTRACT

We propose a method for the stabilisation of quantum computations (including quantum state storage). The method is based on the operation of projection into $\cal SYM$, the symmetric subspace of the full state space of $R$ redundant copies of the computer. We describe an efficient algorithm and quantum network effecting $\cal SYM$--projection and discuss the stabilising effect of the proposed method in the context of unitary errors generated by hardware imprecision, and nonunitary errors arising from external environmental interaction. Finally, limitations of the method are discussed.

研究の動機と目的

• 量子力学におけるノーコピーやノーメジャーメントの定理により、古典的手法の多数決投票が適用できないことから、それらの制限を回避する量子力学的安定化手法の開発を目的とする。
• ハードウェアの不正確さと環境のデコherenceが量子計算に与える不安定化効果を扱い、入力サイズが増加するに従い成功確率が指数関数的に減少することを解消することを目的とする。
• 古典的測定や状態準備を一切用いずに、純粋に量子操作のみを用いて量子計算を安定化する手法を提供することを目的とする。これにより、重ね合わせ状態とコherー二ンスが保持される。
• 特にリソーススケーリングと物理的実装速度の観点から、対称化に基づく誤り訂正の実現可能性と限界を分析することを目的とする。

提案手法

• R個の冗長な量子状態のコピーを、コピーの置換に対して不変な対称部分空間 $\mathcal{SYM}$ に射影する。これにより、置換対称性を破る誤りが抑制される。
• 制御SWAP（フレドキン）ゲートとアーキテクチャ量子ビットを用いて、$\mathcal{SYM}$-射影を実装する効率的な量子ネットワークを構築し、ネットワークは $O(R^2)$ ゲートと $O(R \log R)$ アーキテクチャ量子ビットを要する。
• 誤りが時間とともに蓄積するのを防ぐために、計算中に定期的に射影プロセスを適用し、誤り確率が冗長性Rに従い指数関数的に減少する。
• 対称状態は局所的誤りに対して感受性が低く、$R \to \infty$ の極限で、対称化された状態 $\tilde{\rho}$ が元の摂動のない状態 $\rho_0$ に近づくことを利用している。これにより、純度が向上する。
• 出力状態の忠実度と純度を分析し、対称化された状態の純度は $\mathrm{Tr}(\tilde{\rho}^2) = 1 + \frac{2}{R}\mathrm{Tr}(\rho_0\tilde{\sigma})$ で与えられ、元の状態よりも純度が向上することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的測定やクローン生成を一切用いずに、純粋に量子操作のみを用いて、ユニタリ誤りと非ユニタリ誤りの両方を安定化できるか？
• RQ2 対称部分空間への射影において、冗長コピー数Rの増加に伴う誤り抑制のスケーリングはどのように変化するか？
• RQ3 実際の実装において、対称化に基づく誤り訂正を実現するための物理的および計算リソース要件は何か？
• RQ4 デコherenceによって成功確率が指数関数的に減少する量子アルゴリズムを、対称化によって安定化できるか？

主な発見

• 対称化手法により、量子計算における誤り確率が冗長コピー数Rに従い指数関数的に低下し、ユニタリ誤りに対しては $\exp(-\eta^2 R / 6)$ のオーダーで抑制が達成される。これは古典的手法の多数決と類似した性質を示すが、量子に適合した形で実現される。
• 環境との相互作用に起因する非ユニタリ誤りに対しては、対称化された状態 $\tilde{\rho}$ の純度が元の状態よりも高くなり、Rが増加するに従い $\mathrm{Tr}(\tilde{\rho}^2)$ が1に近づく。これは状態忠実度の向上を示している。
• 入力サイズLに対して $R \sim L$ 個の冗長コピーが必要な線形時間の量子計算を安定化するのに有効であるが、これにより、対称化操作をLに比例する速度で実行する必要が生じ、物理的ボトルネックとなる。
• 誤り訂正プロセス自体にも誤りが生じるため、補正装置には $O(R^2)$ 個の量子ビットが必要であり、$R \sim L$ のとき、補正対象のシステムと同等の規模となる。これにより、自己一貫性の課題が生じる。
• 補正プロセス自体の誤り率が高くても、原理的にはこの手法は有効である。時計のアナロジーにより、誤りを訂正するプロセスが誤りそのものよりも不正確であっても、累積誤りは有界に保たれることが示された。
• この手法は、漸近的に指数的効率性を達成しない。必要な対称化速度が入力サイズに比例して増加するため、スケーリング要件がスピードアップ要因に指数関数的に依存し、大規模量子計算へのスケーラビリティが制限される。