[論文レビュー] Stabilising nontrivial solutions of the generalised Kuramoto-Sivashinsky equation using feedback and optimal control

Susana N. Gomes, Demetrios T. Papageorgiou+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2015

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、薄膜流体に電場および分散効果を含む一般化された Kuramoto-Sivashinsky 方程式における非自明な定常状態（例えば移動波）を安定化するためのきめ細やかなフィードバック制御および最適制御フレームワークを提示する。任意の不安定な解が有限個の点アクチュエータを用いて安定化可能であることを証明しており、必要なアクチュエータ数は不安定モードの数に依存する。また、粘性係数や電場強度などのパラメータ変動に対してもロバストであることが示されている。

ABSTRACT

The problem of controlling and stabilising solutions to the Kuramoto-Sivashinsky equation is studied in this paper. We consider a generalised form of the equation in which the effects of an electric field and dispersion are included. Both the feedback and optimal control problems are studied. We prove that we can control arbitrary nontrivial steady states of the Kuramoto-Sivashinsky equation, including travelling wave solutions, using a finite number of point actuators. The number of point actuators needed is related to the number of unstable modes of the equation. Furthermore, the proposed control methodology is shown to be robust with respect to changing the parameters in the equation, e.g. the viscosity coefficient or the intensity of the electric field. We also study the problem of controlling solutions of coupled systems of Kuramoto-Sivashinsky equations. Possible applications to controlling thin film flows are discussed. Our rigorous results are supported by extensive numerical simulations.

研究の動機と目的

• 一般化された Kuramoto-Sivashinsky 方程式における非自明な定常状態解（移動波を含む）を安定化するための制御戦略の開発。
• 有限個の点アクチュエータを用いたような解の安定化に向けた最適制御の存在を確立すること。
• 粘性係数や電場強度などの主要な物理パラメータの変動に対する制御手法のロバスト性の調査。
• Kuramoto-Sivashinsky 方程式の連立系への制御フレームワークの拡張。
• 薄膜流体に関連する複雑でカオス的な偏微分方程式系における制御のためのきめ細やかな数学的基盤の構築。

提案手法

• ハーディング変換作用素と追加の非線形項を用いて、分散効果および電場効果を含む一般化された Kuramoto-Sivashinsky 方程式を定式化する。
• 線形化系における不安定モードの数に応じて決定される有限個の点アクチュエータを用いたフィードバック制御を適用する。
• 制御エネルギーと状態の偏差を最小化するための二次的コスト関数を用いた最適制御問題を構築する。
• ガラーキン近似と弱収束の技法を用いて、ヒルベルト空間設定下での最適制御の存在を証明する。
• コンパクト埋め込みと有界性推定を用いて、近似解が最適制御に収束することを保証する。
• さまざまなパラメータ領域およびアクチュエータ設定において、広範な数値シミュレーションを通じて理論的結果の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化された Kuramoto-Sivashinsky 方程式の任意の非自明な定常状態は、有限個の点アクチュエータのみを用いて安定化可能か？
• RQ2 必要なアクチュエータ数は、系の不安定モード数にどのように依存するか？
• RQ3 提案された制御手法は、粘性係数や電場強度などの物理パラメータの変動に対してロバストか？
• RQ4 最適制御フレームワークは、Kuramoto-Sivashinsky 方程式の連立系へ拡張可能か？
• RQ5 システムパラメータの不確実性やノイズが存在する状況下でも、制御性能は維持されるか？

主な発見

• 非自明な定常状態を安定化させるために必要な点アクチュエータの数は、線形化系における不安定モード数に直接比例する。
• 二次的コスト関数の下で、一般化された Kuramoto-Sivashinsky 方程式に対して最適制御の存在がきめ細やかに証明された。
• 制御手法は、粘性係数と電場強度の変動に対してロバストであり、さまざまなパラメータ領域で安定性を維持する。
• 数値シミュレーションにより理論的予測が確認され、カオス的および移動波解の有効な安定化が示された。
• フレームワークは、Kuramoto-Sivashinsky 方程式の連立系へ拡張可能であり、より複雑な空間的・時間的ダイナミクスの制御が可能になる。
• 結果は、状態情報が不完全な系におけるフィードバック制御の基盤を築くものであり、有限観測設定への拡張は現在開発中である。