[論文レビュー] Stabilit\\'e homologique pour les groupes d'automorphismes des produits libres

James T. Griffin, Aurélien Djament+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、自由積に関して分解不能で Z に同型でない群 G に対して、Aut(G∗n) → Aut(G∗n+1) の包含写像が整数係数ホモロジー Hi において同型を誘導することを示し、ホモロジー的安定性を確立する。著者らは、McCullough-Miller および Chen-Glover-Jensen のアセイクルの結果を活用し、関手ホモロジーにおけるファンクター的技法を用いて、任意の G に対して対称自己同型群へこの結果を拡張する。関連ホモロジー関手の多項式性を証明する。

ABSTRACT

We show in this article that, for any group $G$ indecomposable for the free product * and non-isomorphic to $\\mathbf{Z}$, the canonical inclusion ${\ m Aut}(G^{*n})\ o {\ m Aut}(G^{* n+1})$ induces an isomorphism between the homology groups $H_i$ for $n\\geq 2i+2$, as was conjectured by Hatcher and Wahl. In fact we show a little more --- in particular, the result is true for any group $G$ if we replace the automorphism group of the free product by the subgroup of symmetric automorphisms. For this purpose we use constructions and acyclicity results due to McCullough-Miller and Chen-Glover-Jensen and functoriality properties which allow us to apply classical methods in functor homology.

研究の動機と目的

• G が自由積に関して分解不能で Z に同型でないとき、Aut(G∗n) のホモロジー的安定性を証明すること。
• 任意の G に対して、対称自己同型群の部分群へ安定性結果を拡張すること。
• Fouxe-Rabinovitch 群 FR(G) のホモロジーが次数 2i 未満の多項式関手であることを確立し、関手ホモロジー技法を用いて安定性を導くこと。
• スペクトル系列および可縮空間のアセイクル性を用いて FR(G)-ホモロジーを分析すること。
• ファンクター的性質および多項式関手を用いて、次数の上限から安定性を導出すること。

提案手法

• Chen-Glover-Jensen および McCullough-Miller の結果を用いて、可縮空間に適切な FR(G)-作用を持つ構成を行う。
• H∗(FR(G)) に収束するスペクトル系列を構成し、E2頁が点付き集合および関手のホモロジーを含むものとする。
• 小さな圏および関手圏におけるホモロジー代数を用いてスペクトル系列を分析する。
• Eilenberg-MacLane および Betley の定義に従い、T: Gr≀Θ → Ab なる多項式関手の次数を定義する。
• 森の組み合わせ的境界を用いて、Hq(FR(G); Z) が次数 2q 未満の多項式関手であることを証明する。
• 多項式関手による自己同型群のねじれホモロジーの安定化定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が自由積に関して分解不能で Z に同型でないとき、n ≥ 2i + 2 ならば包含写像 Aut(G∗n) → Aut(G∗n+1) がホモロジー Hi において同型を誘導するか？
• RQ2 安定性結果は任意の群 G に対して対称自己同型群へ拡張可能か？
• RQ3 関手 G ↦ Hq(FR(G); Z) は次数 2q 未満の多項式関手か？
• RQ4 対称自己同型群 ΣAut(G) は自由積のホモロジーの安定化に果たす役割は何か？
• RQ5 関手ホモロジー技法をどのように用いて、自由積の自己同型群の安定性を証明できるか？

主な発見

• G が自由積に関して分解不能で Z に同型でないとき、n ≥ 2i + 2 ならば包含写像 Aut(G∗n) → Aut(G∗n+1) が整数係数ホモロジー Hi において同型を誘導する。
• この結果は、任意の群 G に対して対称自己同型群 ΣAut(G) へより一般に拡張可能である。
• ホモロジー関手 Hq(FR(G); Z) は次数 2q 未満の多項式関手であり、これが安定性結果を示唆する。
• FR(G)-作用に伴う可縮空間に対するスペクトル系列の E2 項は、X が木の有限順序集合であるとき、H∗(X, A ↦ Hq(R◦S)) の形をとる。
• この証明は、森における無音頂点の数の次数の上限に依拠しており、|E| ≥ 2q + 1 のとき制限写像の上への性質を保証する。
• スペクトル系列の解析と Hq(FR(G); Z) の多項式性を組み合わせ、自己同型群のねじれホモロジーに関する定理を用いて安定化結果が導かれる。