[論文レビュー] Stabilite en niveau 0 pour les groupes orthogonaux impairs p-adiques

Colette Mœglin|arXiv (Cornell University)|Sep 30, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、奇数次正規直交p進群の楕円的表現に対して、レベルゼロの安定性を、パラホリック部分群上の字面層を用いた安定分布の構成によって確立する。安定な表現の組み合わせが特定のパラメータ集合から生じることを証明し、中心の符号が固定された$\natural$（iso または an）と一致するパラメータの和によって、安定分布が正確に生成されることを示し、フーリエ型変換とルスツィグのスプリンガー理論を用いて安定パケツの構造を解明する。

ABSTRACT

In this paper, we construct stable distributions on the set of elliptic elements of an odd orthogonal groups (over a p-adic field with p large). Theses distributions are of zero level. They are parametrised by Langlands like parameters. In the second part of the paper, we show how to interpret these distributions in term of characters of discrete series; this is conditional to a result of A.-M. Aubert which announces how to reduce the zero level case to the case of unipotent reduction using the Lusztig's induction. But, modulo this explicit hypothesis, we prove that our computation will determine all the stable linear combinations of discrete series of zero level for $SO(2n+1)$. The link between the parameters of stable distributions and stable linear combinations of discrete series is done by using a Fourier like involution on the set of parameters.

研究の動機と目的

• 奇数次正規直交p進群の楕円的表現に対して、レベルゼロにおける安定分布を構成すること。
• 表現の線形結合が安定共役に関していつ安定になるかを特定すること。
• 擬係数関数と軌道積分を用いて、結果を安定パケツの観点から解釈すること。
• パラホリック制限とヘッケ代数の還元を分析することで、[8]および[3]の枠組みを奇数次正規直交群に拡張すること。
• 安定パケツに属する表現の和が安定であり、中心符号$\natural$がパケツの分解を決定することを確認すること。

提案手法

• ラングランズ＝ルスツィグ準同型$\psi: W_F \times SL(2,\mathbb{C}) \to \widehat{G}$を用い、$W_F \to \langle Fr \rangle$の核への制限を分解することで、単純型軌道と局所系を定義する。
• ルスツィグの一般化されたスプリンガー理論を適用し、単純型軌道上の局所系に字面層を関連付け、有限正則的群上の関数を得る。
• これらの関数を、pro-$p$-単純型部分群に関する不変性によりパラホリック部分群に持ち上げ、その後、群全体にゼロ拡張する。
• 符号補正を$\epsilon_Z = \natural$に応じて行うフーリエ型変換$\mathcal{F}$を適用し、パラメータ集合$(\psi, \epsilon)$を新たなパラメータ集合に写像する。
• 文献[3]の予想を用いて、レベルゼロ表現の研究を、ユニタリ群および直交群を含むより小さな群における単純型還元に還元する。
• アーチャーの結果を応用し、表現の安定性をその擬係数の軌道積分の安定性に還元し、主要な安定性結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SO(2n+1,F)$のレベルゼロ楕円的表現の線形結合のうち、安定共役に関していつ安定になるか。
• RQ2 幾何的パラメータを用いて、このような表現の安定パケツを明示的にどのように記述できるか。
• RQ3 中心符号$\epsilon_Z = \natural$が安定分布の構造を決定する役割を果たすのはどのようなものか。
• RQ4 パラホリック部分群上の字面層が、安定軌道積分の構成にどのように寄与するか。
• RQ5 パラメータ$(\psi, \epsilon)$上のフーリエ変換$\mathcal{F}$を用いて、表現の安定な組み合わせを生成できるか。

主な発見

• 任意の$\psi$に対して、$\sum_{\epsilon^\prime} \left( \prod_{\alpha \in \cup_{[u]} Jord(U_{[u]})} \epsilon^\prime(\alpha) \right) \pi(\psi, \epsilon^\prime)$は安定分布をなす。
• $\natural = \text{iso}$または$\text{an}$のとき、唯一の安定分布は、$\epsilon^\prime_Z = \natural$を満たす$\epsilon^\prime$への和に制限されたものに限る。
• フーリエ変換$\mathcal{F}$は、安定または半安定パラメータ空間$\mathbb{C}[Ell_\chi]_{st,sst}$を$\mathbb{C}[Ell_\chi]_{stable,\text{iso}} \oplus \mathbb{C}[Ell_\chi]_{stable,\text{an}}$に写像する。
• 関数の一致における符号$(-1)^{rg_G - rg_{P_{cusp,\pi}}}$は、$\prod_{\alpha \in \cup_{[u]} Jord(U_{[u]}), \alpha \equiv 0 \pmod{2}} \epsilon(\alpha)$で与えられる。
• レベルゼロ表現の擬係数関数の構成は、パラホリック制限と単純型タイプへの還元によって完全に記述される。
• 安定パケツの構造は、パrameterセット$(\psi, \epsilon)$が$U^{\prime\prime}_{[u]} = 0$または$U^{\prime}_{[u]} = 0$を満たすことで完全に決定され、これは$\natural$に依存する。