[論文レビュー] Stability analysis and stabilization of LPV systems with jumps and (piecewise) differentiable parameters using continuous and sampled-data controllers

Corentin Briat|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

Stability and Control of Uncertain Systems被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ジャンプを伴い、区分的微分可能なパラメータを有する線形パrameter変動（LPV）システムのための、時計およびパラメータに依存するリャプノフ関数を用いた、安定性および安定化の新規フレームワークを提案する。最小および範囲の留時間条件を導入し、2次的およびロバスト安定性を統合的に扱うことで、和の平方（SOS）プログラミングを用いたより緩い解析と制御器設計を可能にした。サンプリング・データ制御および連続的制御器の下での保証された安定性を数値例で検証した。

ABSTRACT

Linear Parameter-Varying (LPV) systems with jumps and piecewise differentiable parameters is a class of hybrid LPV systems for which no tailored stability analysis and stabilization conditions have been obtained so far. We fill this gap here by proposing an approach based on a clock- and parameter-dependent Lyapunov function yielding stability conditions under both constant and minimum dwell-times. Interesting adaptations of the latter result consist of a minimum dwell-time stability condition for uncertain LPV systems and LPV switched impulsive systems. The minimum dwell-time stability condition is notably shown to naturally generalize and unify the well-known quadratic and robust stability criteria all together. Those conditions are then adapted to address the stabilization problem via timer-dependent and a timer- and/or parameter-independent (i.e. robust) state-feedback controllers, the latter being obtained from a relaxed minimum dwell-time stability condition involving slack-variables. Finally, the last part addresses the stability of LPV systems with jumps under a range dwell-time condition which is then used to provide stabilization conditions for LPV systems using a sampled-data state-feedback gain-scheduled controller. The obtained stability and stabilization conditions are all formulated as infinite-dimensional semidefinite programming problems which are then solved using sum of squares programming. Examples are given for illustration.

研究の動機と目的

• ジャンプおよび区分的微分可能なパラメータを有するLPVシステムのための、特化した安定性および安定化条件の欠如に応えること。
• 最小留時間制約を用いて、2次的およびロバスト安定性基準を一般化・統合する統一フレームワークを構築すること。
• スラック変数を用いた緩和された条件により、タイマ依存およびロバストな状態フィードバック制御器の設計を可能にすること。
• 実装可能性を高めるために、範囲留時間条件を用いてサンプリング・データ制御への拡張を図ること。
• すべての条件を無限次元の半正定値計画問題として定式化し、和の平方（SOS）最適化により解けるようにすること。

提案手法

• 定常および最小留時間下での安定性解析に、時計およびパラメータに依存するリャプノフ関数を用いる。
• 2次的およびロバスト安定性を一般化する最小留時間安定性条件を導出する。これは不確実なLPVおよびスイッチングインパルス系にも適用可能である。
• スラック変数を用いた緩和された最小留時間条件を導入し、タイマおよびパラメータ変動に依存しないロバストな状態フィードバック制御器の設計を可能にする。
• サンプリング・データ制御の安定性解析に範囲留時間条件を適用し、ゲインスケジューリング制御器設計を可能にする。
• すべての安定性および安定化条件を、和の平方（SOS）プログラミングにより解ける無限次元の半正定値計画問題に変換する。
• 多項式パラメータ化およびSOSに基づく最適化を用いて、保証された安定性マージンを有する安定化制御器を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャンプおよび区分的微分可能なパラメータを有するLPVシステムに対して、2次的またはロバスト基準よりも保守的でない安定性条件を導出可能か？
• RQ2 最小留時間制約を用いて、LPVシステムの既存の安定性基準を統合的かつ一般化的に扱う方法は何か？
• RQ3 スラック変数を用いた緩和された留時間条件下で、ロバストかつタイマ依存の状態フィードバック制御器を設計可能か？
• RQ4 範囲留時間は、不連続パラメータを有するLPVシステムのサンプリング・データ安定化に果たす役割は何か？
• RQ5 和の平方プログラミングを用いて、このようなハイブリッドLPVシステムの安定化制御器をどの程度まで計算可能か？

主な発見

• 提案された最小留時間条件は、2次的およびロバスト安定性基準を一般化・統合し、安定性解析のためのより緩いフレームワークを提供する。
• スラック変数を用いた緩和された最小留時間条件により、タイマおよびパラメータ変動に依存しないロバストな状態フィードバック制御器の設計が可能になる。
• 例22において、本手法は[0.001, 0.6]のすべての留時間でシステムを安定化でき、入力遅延モデルを用いた先行研究が最大留時間を0.6に制限していたのに対し、より優れた性能を示した。
• 例23では、本手法により少なくともT_max = 2.0まで安定化が達成され、最も良い先行結果のT_max = 1.349を大きく上回り、顕著な改善を示した。
• SOSベースのアプローチは、9618個のプライマルおよび966個のデュアル変数を含む問題を37秒未満で解けることを示し、大規模なSDP近似に対しても計算上の実行可能性を示した。
• シミュレーション結果は、例23において[0.001, 0.4]のランダムな留時間下でも閉ループ安定性が保証されることを確認し、サンプリング・データ制御器設計の実用的妥当性を検証した。