[論文レビュー] Stability analysis for a class of linear systems governed by difference equations

Sérine Damak, Michaël Di Loreto+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2013

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複数の遅れを有する連続時間差分方程式に従う線形系の指数的安定性を解析するためのラプノフ＝クラソフスキー手法を提示する。指数的安定性の十分条件をLMIに基づいて確立し、同調遅れの場合には必要十分条件を導出し、パrametric不確実性および時変遅れ下でのばらつきに対する安定性解析も行う。

ABSTRACT

Linear systems governed by continuous-time difference equations cover a wide class of linear systems. From the Lyapunov-Krasovskii approach, we investigate stability for such a class of systems. Sufficient conditions, and in some particular cases, necessary and sufficient conditions for exponential stability are established, for multivariable systems with commensurate or rationally independent delays. A discussion on robust stability is proposed, for parametric uncertainties and time-varying delays.

研究の動機と目的

• 複数の遅れを有する連続時間差分方程式に従う線形系の指数的安定性の十分条件を構築すること。
• 同調遅れの場合の指数的安定性の必要十分条件を導出すること。
• パrametric不確実性および時変遅れを有する系への安定性解析を拡張すること。
• ラプノフ＝クラソフスキー汎関数を用いて指数的減衰率の推定を行うこと。
• ノルム有界パrametric不確実性および時変遅れ下でも安定性が保証されることを確認すること。

提案手法

• 系 $ x(t) = \sum_{k=1}^{N} A_k x(t - r_k) $ を記述する系の安定性を解析するため、ラプノフ＝クラソフスキー汎関数法を用いる。
• 行列変数 $ Q_k $ および $ \eta $ を有するラプノフ汎関数を用いて、指数的安定性の十分LMI条件を導出する。
• 遅れが同調である場合、スペクトル半径解析に基づき、指数的安定性の必要十分条件を確立する。
• スペクトル解析およびバナッハ代数技術を用いて、系分布 $ g(t) = \delta(t) - \sum A_k \delta(t - r_k) $ の有界性および可逆性を証明する。
• ラプラス変換および畳み込みを用いて、解を $ x(t) = h(t) \ast \psi(t) $ と表現する。ここで $ h \in \ell_1^{n \times n} $ であり、有界性が保証される。
• 指数的減衰を証明するため、変数変換 $ z(t, \varphi) = e^{\gamma t} x(t, \varphi) $ を導入し、$ \gamma < \mu $ となるように減衰率を設定する。ここで $ \mu $ はLMI条件から導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の遅れを有する線形系において、指数的安定性のための十分LMI条件は何か？
• RQ2 特に同調遅れの場合に、安定性基準が必要十分となる条件は何か？
• RQ3 従来のLMIに基づく結果と比較して、指数的減衰率の推定と改善はどのように行えるか？
• RQ4 パrametric不確実性および時変遅れ下での安定性基準のロバスト性はいかほどか？
• RQ5 関数解析およびラプラス変換技術を用いて、解が有界かつ指数的に減衰することを証明できるか？

主な発見

• 同調遅れまたは有理数的に独立な遅れを有する多変数線形系の指数的安定性について、十分LMI条件を確立した。
• 同調遅れの場合、指数的安定性の必要十分条件が導出され、スペクトル半径不等式として表現された。
• 指数的減衰率 $ \gamma $ はLMI条件を用いて推定され、例7では $ \|\varphi\|_c = 2 $ のとき $ \|x_t(\varphi)\|_{L_2} \leq 4.9125 \|\varphi\|_c e^{-\gamma t} $ が成り立つことが示された。
• パrametricノルム有界不確実性に対するロバスト性が解析され、小さな摂動下でも安定性が維持された。
• 時変遅れへの指数的安定性の十分条件は、変換された変数を用いた手法により拡張された。
• 系分布 $ g $ がバナッハ代数 $ \ell_1^{n \times n} $ 内で可逆であることから、解 $ x(t, \varphi) $ が有界かつ指数的に減衰することを証明した。