[論文レビュー] Stability Analysis of Discrete-Time Linear Complementarity Systems

Arvind U. Raghunathan, Jeff Linderoth|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2020

Formal Methods in Verification参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、状態変数のみまたは状態変数と代数変数の両方に依存する二次型のラプラウニス関数を用いて、離散時間線形補完性システム（DLCS）のラプラウニス安定性を検証する初の正確なアルゴリズムを提案する。この手法は、非凸錐上の共正定値計画問題への安定性検証の還元を伴い、妥当性は新規のカットプレーン法によって確認される。また、微小な時間刻みにおいて、時間ステッピングによるDLCSとLCSの安定性が等価であることを確立する。

ABSTRACT

A Discrete-Time Linear Complementarity System (DLCS) is a dynamical system in discrete time whose state evolution is governed by linear dynamics in states and algebraic variables that solve a Linear Complementarity Problem (LCP). The DLCS is the hybrid dynamical system that is the discrete-time counterpart of the well-known Linear Complementarity System (LCS). We derive sufficient conditions for Lyapunov stability of a DLCS when using a quadratic Lyapunov function that depends only on the state variables and a quadratic Lyapunov function that depends both on the state and the algebraic variables. The sufficient conditions require checking the feasibility of a copositive program over nonconvex cones. Our results only assume that the LCP is solvable and do not require the solutions to be unique. We devise a novel, exact cutting plane algorithm for the verification of stability and the computation of the Lyapunov functions. To the best of our knowledge, our algorithm is the first exact approach for stability verification of DLCS. A number of numerical examples are presented to illustrate the approach. Though our main object of study in this paper is the DLCS, the proposed algorithm can be readily applied to the stability verification of LCS. In this context, we show the equivalence between the stability of a LCS and the DLCS, resulting from a time-stepping procedure applied to the LCS for all sufficiently small time steps.

研究の動機と目的

• 離散時間線形補完性システム（DLCS）のラプラウニス安定性を厳密に検証するための、厳密で正確な手法を開発すること。DLCSは線形力学と補完性制約に従うハイブリッドシステムである。
• 補完性問題に一意な解が存在しない場合でも、DLCSへのラプラウニス安定性解析を拡張し、現実のハイブリッドシステムへの適用範囲を広げること。
• 近似や緩和に依存しない、安定性を正確に検証し、ラプラウニス関数を計算する新規のカットプレーンアルゴリズムを考案すること。
• 十分に小さな時間刻みにおいて、時間ステッピングによって得られるDLCSと連続時間線形補完性システム（LCS）の安定性が等価であることを確立すること。
• 接触、摩擦、スイッチング挙動をモデル化する補完性制約を持つロボット工学、機械工学、電気回路分野の制御システムに適用可能な計算フレームワークを提供すること。

提案手法

• 本稿は、状態変数のみまたは状態変数と代数変数の両方に依存する二次型ラプラウニス関数に基づき、非凸錐上の共正定値計画問題としての安定性検証を、妥当性問題として定式化する。
• 2種類のラプラウニス関数を導入する：状態変数にのみ依存する共通二次ラプラウニス関数（CQLF）と、状態変数と補完性変数の両方に依存する拡張二次ラプラウニス関数（EQLF）。
• 共正性条件を線形行列不等式（LMIs）に緩和するS-lemmaを活用し、凸緩和技術を用いてラプラウニス関数の効率的計算を可能にする。
• 非凸共正定値計画問題を解くために、新規の正確なカットプレーンアルゴリズムを提案する。反復的に有効領域を改善し、解が存在する場合には収束を保証する。
• このアルゴリズムは補完性制約の非凸構造を処理するように設計されており、近似や緩和に依存せず、正確であることが証明されている。
• この手法は、時間刻みが十分に小さい場合に、連続時間LCSの安定性とその時間離散化されたDLCSの安定性が等価であることを示すために拡張される。明示的、陰的、または台形Eulerスキームを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補完性制約の緩和や近似に依存せずに、DLCSのラプラウニス安定性を正確に検証することは可能か？
• RQ2 状態変数のみに依存する、または状態変数と代数変数の両方に依存する二次型ラプラウニス関数を用いた場合、DLCSのラプラウニス安定性の十分条件は何か？
• RQ3 安定性検証問題は、非凸錐上の共正定値計画問題としてどのように定式化できるか？また、その解法の計算複雑度はどの程度か？
• RQ4 補完性問題に非一意な解が存在する場合でも、ラプラウニス関数を計算し、DLCSの安定性を正確に検証できるアルゴリズムは存在するか？
• RQ5 連続時間LCSの安定性は、十分に小さな時間刻みにおける時間離散化されたDLCSの安定性を示し、かつその逆も成り立つか？

主な発見

• 本稿は、補完性問題に非一意な解が存在する場合でも有効な、DLCSのラプラウニス安定性の十分条件を確立する。
• 安定性検証問題は、非凸錐上の共正定値計画問題の妥当性の確認に還元され、計算上困難であるが、提案されたアルゴリズムによって解ける。
• 提案されたカットプレーンアルゴリズムは、DLCSの安定性検証における初の正確な手法であり、緩和ギャップなしにラプラウニス関数の計算と安定性の検証が可能である。
• 本手法は、補完性制約を有する系において、数値例を通じてラプラウニス関数の計算に成功し、実用的応用性を示している。
• 本稿では、時間刻みが十分に小さい場合に、連続時間LCSの安定性とその時間離散化されたDLCSの安定性が等価であることを証明している。明示的、陰的、または台形Eulerスキームを用いる場合に適用可能である。
• LMIsへのS-lemmaに基づく緩和は、ラプラウニス関数の効率的計算を可能にするが、カットプレーンによる反復的改善プロセスにより、安定性検証の正確性を保持する。