[論文レビュー] Stability Analysis of Infinite-dimensional Event-triggered and Self-triggered Control Systems with Lipschitz Perturbations

Masashi Wakaiki, Hideki Sano|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなフィードバック作用素を仮定したもとで、無限次元のイベントトリガー型およびセルフトリガー型制御系に対して、小さなリプシッツ摂動のもとで指数的安定性を確立する。適切に選ばれたトリガー条件のもとで、すべての十分に小さなリプシッツ定数に対して安定性が保たれることを示し、有界および非有界な制御作用素の両ケースにおいて指数的安定性の明示的十分条件を提供する。特に、周期的イベントトリガー機構において顕著である。

ABSTRACT

This paper addresses the following question: "Suppose that a state-feedback controller stabilizes an infinite-dimensional linear continuous-time system. If we choose the parameters of an event/self-triggering mechanism appropriately, is the event/self-triggered control system stable under all sufficiently small nonlinear Lipschitz perturbations?" We assume that the stabilizing feedback operator is compact. This assumption is used to guarantee the strict positiveness of inter-event times and the existence of the mild solution of evolution equations with unbounded control operators. First, for the case where the control operator is bounded, we show that the answer to the above question is positive, giving a sufficient condition for exponential stability, which can be employed for the design of event/self-triggering mechanisms. Next, we investigate the case where the control operator is unbounded and prove that the answer is still positive for periodic event-triggering mechanisms.

研究の動機と目的

• 安定化フィードバック作用素がコンパクトである場合に、イベント／セルフトリガー型制御系が小さなリプシッツ摂動のもとで指数的安定性を保つかどうかを調査すること。
• 無限次元系においてゼノ効果を回避するため、イベント間隔の厳密な正の下限を保証すること。
• 周期的サンプリングデータ系からのロバストネス結果を、非有界な制御作用素を伴うイベント／セルフトリガー制御へと拡張すること。
• 有界な制御作用素のケースにおいて、トリガー条件と摂動バウンドの観点から指数的安定性の明示的十分条件を導出すること。

提案手法

• ミルド解の存在性とイベント間隔の厳密な下限を保証するため、フィードバック作用素 F がコンパクトであると仮定する。
• リプシッツ摂動 φ が、すべての十分に小さな L に対して、‖φ(ξ₁)−φ(ξ₂)‖ ≤ L‖ξ₁−ξ₂‖ を満たすことを分析する。
• 有界な制御作用素のケースでは、W(h) < γ およびパラメータ依存不等式を含む十分条件を導出し、指数的安定性を保証する。
• 非有界な制御作用素のケースでは、スペクトル性質と半群論を用いて、周期的イベントトリガー機構のもとで指数的安定性を証明する。
• トリガー間の状態推移をバネ付きノルムを用いたリャプノフ型議論で評価する。
• 特に、遷移作用素 ∆h のパワー安定性に着目した周期的サンプリングデータ系の結果を応用し、ロバストネスを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなフィードバックを有する無限次元系において、イベント／セルフトリガー制御が小さなリプシッツ摂動のもとでも指数的安定性を保つのか。
• RQ2 コンパクトなフィードバックのもとで、最小イベント間隔が厳密に正であり、ゼノ効果を回避できるのか。
• RQ3 制御作用素が非有界である場合、特に周期的イベントトリガーにおいて、指数的安定性が摂動に対してロバストであるか。
• RQ4 有界な制御作用素のケースにおいて、トリガー条件 (ε, h) に対して指数的安定性を保証する明示的条件は何か。
• RQ5 サンプリングデータ系からの結果を、非有界作用素を伴うイベント／セルフトリガー制御へと拡張できるか。

主な発見

• フィードバック作用素がコンパクトであれば、すべての十分に小さなリプシッツ定数 L を有する摂動のもとで、指数的安定性が保たれる。
• 有界な制御作用素のケースでは、(58)式に現れる W(h), γ, 摂動項を含む不等式を満たすことで、指数的安定性の十分条件が与えられ、ε および L が十分に小さい場合に安定性が保証される。
• フィードバック作用素のコンパクト性のおかげで、最小イベント間隔が厳密に正であり、ゼノ効果が回避される。
• 非有界な制御作用素のケースでは、同じ小さな摂動仮定のもとで、周期的イベントトリガー機構が指数的安定性を保つ。
• 周期的サンプリングデータ系が安定であれば、適切な ε および h を選べば、周期的イベントトリガー系に対しても安定性が保証される。この安定性は、サンプリングの観点からロバストである。
• コロナリー4.8では、ε および h に対する明示的なバウンドが導出され、十分に小さな摂動およびサンプリング間隔のもとで安定性が成立することが示されている。