[論文レビュー] Stability Analysis of the Reissner Nordstr{\o}m Circular Orbits

Parthapratim Pradhan|arXiv (Cornell University)|May 25, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、リーマン＝ノールストローム（RN）ブラックホール時空における時空的円軌道の固有時間（$ olimits_p$）と座標時間（$ olimits_c$）の主Lyapunov指数を導出し、その比が軌道半径および電荷に依存することを示している。特に、ISCOおよびMBCOといった重要な半径における明確な値を提示している。さらに、準正規モードのアイコナール極限が不安定な光的軌道の周波数および不安定性 timescale と関連することを示している。

ABSTRACT

We explicitly derive the proper time $( au)$ principal Lyapunov exponent ($\lambda_{p}$) and coordinate time ($t$) principal Lyapunov exponent ($\lambda_{c}$) for Reissner Nordstr{\o}m (RN) black hole (BH) . We also compute their ratio. For RN space-time, it is shown that the ratio is $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{c}}=\frac{r_{0}}{\sqrt{r_{0}^2-3Mr_{0}+2Q^2}}$ for time-like circular geodesics and for Schwarzschild BH the ratio is $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{c}}=\frac{\sqrt{r_{0}}}{\sqrt{r_{0}-3M}}$. We further show that their ratio $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{c}}$ may vary from orbit to orbit. For instance, Schwarzschild BH at innermost stable circular orbit(ISCO), the ratio is being $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{c}}\mid_{r_{ISCO}=6M}=\sqrt{2}$ and at marginally bound circular orbit (MBCO) the ratio is calculated to be $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{c}}\mid_{r_{mb}=4M}=2$. Similarly, for extremal RN BH the ratio is at ISCO: $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{c}}\mid_{r_{ISCO}=4M}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$. We also further analyzes the geodesic stability via this exponent. By evaluating the Lyapunov exponent, it is shown that \emph{ in the eikonal limit , the real and imaginary parts of the quasinormal modes of RN BH are given by the frequency and instability time scale of the unstable null circular geodesics}.

研究の動機と目的

• リーマン＝ノールストローム時空における円軌道の固有時間（$\\lambda_p$）および座標時間（$\\lambda_c$）の主Lyapunov指数を解析的に計算すること。
• 軌道半径およびブラックホールの電荷 $Q$ に依存する $\\lambda_p / \\lambda_c$ の比を関数として特定し、ISCO や MBCO といった天体物理学的に重要な半径で評価すること。
• Lyapunov指数による軌道運動の安定性を調査し、準正規モードスペクトルのアイコナール極限と関連づけること。
• アイコナール極限におけるRNブラックホールの準正規モードの実部および虚部が、不安定な光的円軌道の周波数および不安定性 timescale と直接対応することを確立すること。

提案手法

• リーマン＝ノールストローム時空における測地線方程式を用いて、時空的円軌道の主Lyapunov指数 $\\lambda_p$ および $\\lambda_c$ を導出する。
• 比 $\\lambda_p / \\lambda_c = r_0 / \sqrt{r_0^2 - 3Mr_0 + 2Q^2}$ を、軌道半径 $r_0$ および電荷 $Q$ の関数として計算する。
• 特定の半径での比の評価：スワーツシルトでは $r_{\text{ISCO}} = 6M$、極限RNでは $r_{\text{ISCO}} = 4M$ であり、それぞれ $\sqrt{2}$ および $2\sqrt{2}/\sqrt{3}$ が得られる。
• アイコナール近似を適用し、準正規モード周波数の実部および虚部が不安定な光的円軌道のLyapunov指数と関連することを示す。
• 測地線安定性解析を用いて、Lyapunov指数が軌道不安定性を特徴付ける物理的意味を持つことを確認する。
• 結果の妥当性を検証するため、スワーツシルト（$Q=0$）および極限RN（$Q=M$）の既知の極限と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン＝ノールストロームブラックホールにおける時空的円軌道の固有時間および座標時間のLyapunov指数 $\\lambda_p$ および $\\lambda_c$ は、どのように振る舞うか？
• RQ2 比 $\\lambda_p / \\lambda_c$ は、軌道半径 $r_0$ およびブラックホールの電荷 $Q$ にどのように依存するか？
• RQ3 ISCO や準束縛円軌道（MBCO）といった重要な半径において、比 $\\lambda_p / \\lambda_c$ はどのように変化するか？
• RQ4 RNブラックホールの準正規モードのアイコナール極限を、Lyapunov指数を通じて不安定な光的円軌道の性質と直接関連づけられるか？
• RQ5 Lyapunov指数は、電荷を帯びたブラックホール時空における測地線運動の安定性を特徴付ける上で、物理的にどのような意味を持つのか？

主な発見

• リーマン＝ノールストロームブラックホールにおける固有時間と座標時間のLyapunov指数の比は、$\\lambda_p / \\lambda_c = r_0 / \sqrt{r_0^2 - 3Mr_0 + 2Q^2}$ であり、軌道半径および電荷に依存する。
• スワーツシルトブラックホールのISCO（$r_{\text{ISCO}} = 6M$）において、比は $\\lambda_p / \\lambda_c = \sqrt{2}$ であり、固有時間における特定の不安定性 timescale を示している。
• スワーツシルトの準束縛円軌道（MBCO）において（$r_{\text{mb}} = 4M$）、比は $\\lambda_p / \\lambda_c = 2$ であり、座標時間に対して相対的に増大した不安定性を示している。
• 極限RNブラックホールのISCO（$r_{\text{ISCO}} = 4M$）において、比は $\\lambda_p / \\lambda_c = 2\sqrt{2}/\sqrt{3} \approx 2.31$ であり、電荷に起因する不安定性の増大を反映している。
• アイコナール極限において、準正規モード周波数の実部は不安定な光的円軌道の軌道周波数に対応し、虚部は不安定性 timescale の逆数に対応する。
• Lyapunov指数の解析により、RN時空における測地線運動がISCOおよびMBCOで不安定であり、その不安定性が比 $\\lambda_p / \\lambda_c$ によって定量的に特徴付けられていることが確認された。