[論文レビュー] Stability and Bifurcation Analysis of a Fractional Order Delay Differential Equation Involving Cubic Nonlinearity

Sachin Bhalekar, Deepa Gupta|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2022

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 56被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、3次非線形性を有する分数階微分遅延方程式の安定性とカオスを、線形化と特性方程式解析を用いて、遅延に依存するおよび依存しない安定性条件を導出することにより分析している。主な貢献は、任意の ϵ > 0 および p > 0 に対して、qδ平面における安定領域の完全なスケッチがなされた点であり、数値シミュレーションおよび分岐解析により、大きな遅延値に対してカオス的挙動が示されたことが確認されている。

ABSTRACT

Fractional derivative and delay are important tools in modeling memory properties in the natural system. This work deals with the stability analysis of a fractional order delay differential equation \begin{equation*} D^\alpha x(t)=\delta x(t- au)-\epsilon x(t- au)^3-px(t)^2+q x(t). \end{equation*} We provide linearization of this system in a neighbourhood of equilibrium points and propose linearized stability conditions. To discuss the stability of equilibrium points, we propose various conditions on the parameters $\delta$, $\epsilon$, $p$, $q$ and $ au$. Even though there are five parameters involved in the system, we are able to provide the stable region sketch in the $q\delta-$plane for any positive $\epsilon$ and $p$. This provides the complete analysis of stability of the system. Further, we investigate chaos in the proposed model. This system exhibits chaos for a wide range of delay parameter.

研究の動機と目的

• 3次非線形性を有する分数階遅延微分方程式の平衡点の安定性を分析すること。
• 系の平衡点に対する明示的な安定性条件（遅延に依存するおよび依存しないもの）を導出すること。
• 任意の正の ϵ および p に対して、qδ平面における完全な安定領域をマッピングし、パラメータ全般の安定性解析を可能にすること。
• 遅延パラメータ τ の関数としてカオスの出現を調査すること。
• 理論的結果を数値シミュレーション、分岐図、およびリャプノフ指数の計算により検証すること。

提案手法

• 一次テイラー近似を用いた平衡点まわりの線形化により、線形化された分数階遅延方程式を導出すること。
• マティニオンの安定性基準を、特性方程式解析を用いて分数階遅延系に適用すること。
• ホップ分岐検出のため、α、q、δ を含む三角関数および逆余弦関数を用いた τ* の臨界遅延値の導出。
• パラメトリック曲線 g1(p, q, ϵ) および g2(p, q, ϵ) を用いて、x*₂ の安定領域の境界を定義すること。
• 時間発展および位相ポートレートの数値シミュレーションにより、極小循環およびカオス的アトラクタを可視化すること。
• コーデバらのアルゴリズムを用いて最大リャプノフ指数を計算し、カオス的ダイナミクスを確認すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平衡点 x*₁ = 0 が安定または不安定となる条件は何か。また、遅延 τ はその安定性にどのように影響するか。
• RQ2 δ、q、ϵ、p のパラメータが非ゼロ平衡点 x*₂ および x*₃ の安定性にどのように影響するか。
• RQ3 qδ平面における遅延に依存するおよび依存しない安定領域を定義する正確なパラメトリック境界は何か。
• RQ4 どの τ 値において系がカオス的振動を示すか。
• RQ5 分岐図およびリャプノフ指数を用いて、カオスの存在をどのように確認できるか。

主な発見

• 定理1のケース2により、δ + q > 0 であれば、すべての τ ≥ 0 に対して平衡点 x*₁ = 0 は不安定である。
• 定理3により、δ + q < 0 かつ δ ≥ q であれば、すべての τ ≥ 0 に対して x*₁ は漸近的に安定である。
• δ + q < 0 かつ δ < q の場合、x*₁ は遅延に依存する安定性を示し、δ = -3、q = -2、ϵ = 1、p = 1 のとき臨界遅延 τ* ≈ 1.0690 を示す。
• 定理5により、x*₂ に対しては、ϵ > 0、p > 0、および 0 < −q < δ < −2q のとき、すべての τ ≥ 0 で漸近的に安定である。
• x*₂ の qδ 平面における安定領域は、曲線 δ = g1(p, q, ϵ)、δ = g2(p, q, ϵ)、および δ = −q で囲まれており、g2 は δ₁ = −p²/(32ϵ) で局所的最小値を示す。
• τ > 2.2 のときカオスが確認され、最大リャプノフ指数は τ = 2.3 のとき 0.546279、τ = 2.5 のとき 1.083852 であり、正のカオス指標を示している。