[論文レビュー] Stability and Bifurcation Analysis of Coupled Fitzhugh-Nagumo Oscillators

W. G. Hanan, Dhagash Mehta+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2010

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、計算的実代数幾何学—特に判別式多様体（Discriminant Variety）および円筒的代数的分解（Cylindrical Algebraic Decomposition）の手法—を用いて、3つの結合 Fitzhugh-Nagumo 振動子の安定性および分岐構造を分析している。$g$ の結合強度におけるパラメータ領域を同定し、定常状態および安定状態の数が一定である領域を特定した。$a=0$, $b=2$ の場合、最大で27個の定常状態および14個の安定状態を示し、臨界分岐点を定義する正確な閾値 $μ_i$ が特定された。

ABSTRACT

Neurons are the central biological objects in understanding how the brain works. The famous Hodgkin-Huxley model, which describes how action potentials of a neuron are initiated and propagated, consists of four coupled nonlinear differential equations. Because these equations are difficult to deal with, there also exist several simplified models, of which many exhibit polynomial-like non-linearity. Examples of such models are the Fitzhugh-Nagumo (FHN) model, the Hindmarsh-Rose (HR) model, the Morris-Lecar (ML) model and the Izhikevich model. In this work, we first prescribe the biologically relevant parameter ranges for the FHN model and subsequently study the dynamical behaviour of coupled neurons on small networks of two or three nodes. To do this, we use a computational real algebraic geometry method called the Discriminant Variety (DV) method to perform the stability and bifurcation analysis of these small networks. A time series analysis of the FHN model can be found elsewhere in related work[15].

研究の動機と目的

• 3つの結合 Fitzhugh-Nagumo ニューロンからなる小さなネットワークの安定性および分岐構造を分析すること。
• Fitzhugh-Nagumo モデルの生物学的に関連するパラメータ範囲、特に $a \in [-2,2]$、$b \in (0,\infty)$、$g \in [-1,1]$、$\epsilon \leq 0.1$ を特定すること。
• パラメータ空間全体にわたり、定常状態の数および安定性を特定するための計算的代数幾何学的手法を適用すること。
• $n=1$ および $n=2$ の場合の先行研究を拡張し、$n=3$ の系を高度な代数的手法を用いて正確に解くこと。
• $n=3$ の場合のパラメータ空間を、定常状態および安定状態の数が一定である領域に完全に分割すること。

提案手法

• パラメータ空間を定常状態数が一定である領域に暗黙的に分割するために、判別式多様体（DV）法を用いる。
• 各連結セルを明示的に記述するために、円筒的代数的分解（CAD）を用いる。
• 各定常状態の安定性を特定するために、Routh-Hurwitzの基準（およびその Liénard-Chipart 変種）を適用する。
• 時間微分をゼロと置くことで得られる多項方程式系を解くために、Maple 13 と Groebner および RootFinding[Parametric] パッケージを用いて計算を実行する。
• 次元削減のため、パラメータ $a=0$, $b=2$ を固定し、結合強度 $g$ にのみ依存する解析を行う。
• 定常状態および安定状態の数が変化する境界を定義するために、数値的閾値 $\mu_i$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3つの結合 Fitzhugh-Nagumo 振動子ネットワークにおける定常状態の数は、結合強度 $g$ にどのように依存するか？
• RQ2 定常状態の数が変化する臨界的な $g$ の値（分岐点）は何か？
• RQ3 $g$ の異なる区間において、定常状態のうち何個が安定しているか？また、パラメータ変動に伴いその数はどのように変化するか？
• RQ4 代数幾何学的手法を用いて、$n=3$ のパラメータ空間を、定常状態および安定状態の数が一定である領域に完全に分割できるか？
• RQ5 生物学的に妥当なパラメータ範囲下で、3ノードネットワークで達成可能な最大の定常状態および安定状態の数は何か？

主な発見

• $n=3$ の場合、結合強度 $g$ に応じて定常状態の数は3から27に変動し、12個の異なる区間が特定された。
• 最初の12区間では安定状態の数は常に2のまま維持されるが、$\mu_{15}$ を超えて$g$が増加すると、8、14、そして最終的に6に増加する。
• 最大の定常状態数27は、$g \in ]\mu_{15}, \mu_{16}[$ の区間で観察され、この領域は安定状態数が最大の14に達する領域でもある。
• $g$ は $\mu_{18} \approx 0.1646$ で臨界的転移を経験し、定常状態数が15から27に急増する。これは顕著な分岐を示している。
• 安定状態数は $g \in ]\mu_{15}, \mu_{16}[$ の区間で最大の14に達し、観察された中で最高の安定性を示している。
• 最終的な区間 $g \in ]\mu_{24}, \infty[$ には27個の定常状態と6個の安定状態が存在し、状態の多様性は高いが安定性は低いことが示された。