[論文レビュー] Stability and bifurcations for dissipative polynomial automorphisms of C^2

Romain Dujardin, Lyubich Mikhail|arXiv (Cornell University)|May 13, 2013

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 24被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、C^2 上の多項式自己同型の正則族に対して、中程度に散逸的である場合、ホモクリニックねじれが分岐領域に稠密であることを確立している—Palisの予想の複素版を確認するものである。著者らは、1次元動的系におけるJ安定性の力学的類似物として弱安定性を導入し、このような弱安定写像に加え、ホモクリニックねじれを示す写像が、半放物型分岐とDenjoy-Carleman-Ahlfors定理を用いた道具を用いて、半放物型吸引子における臨界点を構成することで、パラメータ空間の稠密部分集合を形成することを証明した。

ABSTRACT

We study stability and bifurcations in holomorphic families of polynomial automorphisms of C^2. We say that such a family is weakly stable over some parameter domain if periodic orbits do not bifurcate there. We first show that this defines a meaningful notion of stability, which parallels in many ways the classical notion of J-stability in one-dimensional dynamics. In the second part of the paper, we prove that under an assumption of moderate dissipativity, the parameters displaying homoclinic tangencies are dense in the bifurcation locus. This confirms one of Palis' Conjectures in the complex setting. The proof relies on the formalism of semi-parabolic bifurcation and the construction of "critical points" in semi-parabolic basins (which makes use of the classical Denjoy-Carleman-Ahlfors and Wiman Theorems).

研究の動機と目的

• C^2 上の多項式自己同型の正則族における弱安定性を定義・分析し、1次元動的系におけるJ安定性に類似させる。
• 散逸的多項式自己同型の文脈において、分岐領域の構造を調査する。
• 中程度の散逸性のもとで、ホモクリニックねじれが分岐領域に稠密であることを示すことにより、Palis予想の複素版を確認する。
• 弱安定写像と無限個の吸引子を有する写像が、同じ仮定のもとでパラメータ空間に稠密であることを確立する。
• 半放物型分岐の形式的枠組みを構築し、古典的複素解析の道具を用いて、半放物型吸引子における臨界点を構成する。

提案手法

• C^2 上の多項式自己同型の正則族に対する弱安定性の概念を導入し、周期軌道における分岐の不在によって定義する。
• 分岐領域を、弱安定性領域の補集合として定義し、1次元動的系における分岐集合に類似させる。
• 半放物型分岐の形式的枠組みを用いて、放物型周期点の近傍における力学的挙動を分析する。
• ホロモルフィック写像に漸近値が存在することを応用し、Denjoy-Carleman-Ahlfors定理を適用することで、半放物型吸引子における臨界点を構成する。
• Wimanの定理を用いてホロモルフィック写像の成長を制御し、不安定多様体における臨界点の存在を導出する。
• ジュリ集合におけるラミナ型構造と横断的議論を用いて、臨界点が存在しないと仮定した場合の矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C^2 上の正則族における中程度に散逸的多項式自己同型に対して、弱安定性領域はパラメータ空間に稠密か？
• RQ2 Palisが複素設定で予想したように、このような族においてホモクリニックねじれは分岐領域に稠密か？
• RQ3 古典的複素解析を用いて、多項式自己同型の半放物型吸引子における臨界点を構成できるか？
• RQ4 不安定多様体に臨界点が存在しないと仮定した場合、中程度の散逸性の仮定のもとで矛盾が生じるか？
• RQ5 ジュリ集合 J^{-} のラミナ型構造は、放物型点近傍における安定・不安定多様体の幾何にどの程度制約を加えるか？

主な発見

• C^2 上の正則族における中程度に散逸的多項式自己同型に対して、ホモクリニックねじれは分岐領域に稠密であり、Palis予想の複素版が確認された。
• 同じ仮定のもとで、弱安定写像と無限個の吸引子を有する写像は、いずれもパラメータ空間に稠密である。
• 半放物型領域における臨界点の構成は、Denjoy-Carleman-Ahlfors定理とホロモルフィック写像における漸近値の存在に依存する。
• 写像が J^* 上で双曲的であれば、安定多様体 W^s(J) と吸引域の強い安定葉層 F^ss(B) の合併は、鞍点の近傍でラミネーションを形成できない。
• ヤコビアンが |Jac f| < d^{-4} を満たすとき、放物型点 p における W^{ss}(p) ∩ J^{-} の成分は1点に限られ、特定の仮定のもとで非有界成分の存在と矛盾する。
• 不安定多様体に臨界点が存在しないと仮定した場合、反復的に前方に写像を適用することで漸近値が出現し、ラミナ型構造の制約が生じるため、Denjoy-Carleman-Ahlfors定理により矛盾が生じる。