[論文レビュー] Stability and Capacity Regions or Discrete Time Queueing Networks

Michael J. Neely|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2010

Advanced Wireless Network Optimization参考文献 26被引用数 50

ひとこと要約

本稿では、ネットワーク容量領域—安定性および時間平均的属性制約下でのすべての実現可能なトラフィックレートベクトルの集合—が、4つの一般的な安定性定義（率安定性、平均率安定性、定常状態安定性、強安定性）に対して不変であることを確立する。減衰記憶仮定の下でドリフトプラスペナルティ法を用いることで、容量領域の内部に位置する任意のレートベクトルは強安定性（したがってすべての定義に対して）で安定化可能であることが示され、領域の閉包の外側のレートは、いかなる定義に対しても本質的に不安定であることが判明する。

ABSTRACT

We consider stability and network capacity in discrete time queueing systems. Relationships between four common notions of stability are described. Specifically, we consider rate stability, mean rate stability, steady state stability, and strong stability. We then consider networks of queues with random events and control actions that can be implemented over time to affect arrivals and service at the queues. The control actions also generate a vector of additional network attributes. We characterize the network capacity region, being the closure of the set of all rate vectors that can be supported subject to network stability and to additional time average attribute constraints. We show that (under mild technical assumptions) the capacity region is the same under all four stability definitions. Our capacity achievability proof uses the drift-plus-penalty method of Lyapunov optimization, and provides full details for the case when network states obey a decaying memory property, which holds for finite state ergodic systems and more general systems.

研究の動機と目的

• 離散時間キューイングネットワークにおける4つの一般的な安定性定義（率安定性、平均率安定性、定常状態安定性、強安定性）の関係を明確化すること。
• 安定性および時間平均的属性制約下でのすべての実現可能なレートベクトルの閉包として、ネットワーク容量領域を特徴づけること。
• ややきつい技術的仮定および減衰記憶性を満たす場合、容量領域が4つの安定性定義すべてにおいて同一であることを証明すること。
• これらの条件下でドリフトプラスペナルティ法が容量領域を達成できることを示し、内部点に対して強安定性を保証すること。

提案手法

• 本稿は、安定性とパフォーマンスを同時に最適化するためのリャプノフドリフトプラスペナルティフレームワークを用い、時間窓内でのキューおよび制約ドリフトの上限を導出する。
• 追加のネットワーク属性（例：電力、遅延）をモデル化するための時間平均ペナルティ関数を導入し、最適化目的関数に組み込む。
• ネットワークイベント（到着、チャネル状態など）が減衰記憶性を示すと仮定する。これは有限状態定常過程やより一般的なシステムを含む。
• 強安定性が他の定義を含むこと、およびややきつい2階モーメントの有界性のもとで他の定義が平均率安定性を含むことの証明により、容量領域が安定性定義に依存しないことを示す。
• 期待ドリフトの上限を求めるために、ジェンセンの不等式およびシュワルツの不等式を用い、最適領域への収束を示す。
• 容量領域の内部に位置するレートベクトルに対して、すべてのキューに対して強安定性を保証する制御方策が存在することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネットワーク容量領域は、安定性定義（率安定性、平均率安定性、定常状態安定性、強安定性）の選択に依存するか？
• RQ2 減衰記憶性を有する一般の確率過程に対して、ドリフトプラスペナルティ法が容量領域全体を達成可能か？
• RQ3 マルチキューネットワーク設定において、強安定性と他の3つの安定性定義との関係は何か？
• RQ4 ネットワーク属性の時間平均制約を組み込むと、容量領域およびその安定性定義に依存しない性質にどのような影響を与えるか？
• RQ5 どのような条件下で、制御方策にかかわらず特定のトラフィックレートベクトルが不安定となるか？ これは容量領域の閉包とどのように関係するか？

主な発見

• ややきつい技術的仮定および減衰記憶性が成り立つ場合、容量領域は4つの安定性定義すべてにおいて同一である。
• 平均率安定性は、他の3つの定義と同一の仮定のもとで、最も弱い安定性定義である。
• 強安定性は他の3つの定義をすべて含むため、最も強固で包括的な安定性基準である。
• i.i.d. 到着およびサービスを持つGI/GI/1キューでは、容量領域は[0, 1/2]であり、平均率安定性はλ ≤ 1/2のときに成立するが、強安定性はλ < 1/2（確定的ケースを除く）を要する。
• ドリフトプラスペナルティ法は、容量領域全体を達成でき、領域の内部点に対して強安定性を保証する。
• 4つの定義すべてにおいて、安定レートの集合の閉包は同一であり、単一キュー例におけるλ = 1/2のような境界点を除いては差異がない。