[論文レビュー] Stability and Control of Piecewise-Deterministic Queueing Systems.

Li Jin, Saurabh Amin|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Advanced Queuing Theory Analysis参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、マーカフ変調容量および状態フィードバック制御を備えた区分的決定的キューイングシステム（PDQ）を研究し、安定性の必要十分条件を確立する。安定性のための双線形行列不等式条件を導出し、一意なエルゴドリシティを証明する。2モード系の明示的結果と、単一および並列ネットワークリンクへの応用を含む。

ABSTRACT

We consider a piecewise-deterministic queueing (PDQ) model to study traffic queues due to stochastic capacity fluctuations in transportation facilities. The saturation rate (capacity) of the PDQ model switches between a finite set of values (modes) according to a Markov chain. The inflow to the PDQ is controlled by a state-feedback policy. The main results of this article are stability conditions of PDQs, i.e. conditions under which the distribution of the queue length converges to a unique invariant probability measure. On one hand, a necessary condition for stability is that the average inflow does not exceed the average saturation rate. On the other hand, based on the Foster-Lyapunov criteria, we derive a sufficient condition that requires a bilinear matrix inequality to admit positive solutions and the invariant probability measure to be unique. We also study the rate of convergence for stable PDQs. Furthermore, for PDQs with two modes, a necessary and sufficient condition for stability is available. In addition, we present examples for the stability analysis of feedback control policies for single PDQs as well as a network of two PDQ links in parallel.

研究の動機と目的

• マーカフ連鎖によってモデル化された確率的容量変動下における区分的決定的キューイングシステム（PDQ）の安定性を分析すること。
• キュー長分布を支配する一意な不変確率測度の存在に対する必要十分条件を導出すること。
• 安定PDQシステムにおける不変測度への収束速度を評価すること。
• 動的容量レジーム下でシステムの安定性を保証するフィードバック制御ポリシーの開発。
• 理論的枠組みを単一PDQおよび2つのPDQリンクからなる並列ネットワークに応用すること。

提案手法

• 容量が連続時間マーカフ連鎖に従って離散モード間を切り替える区分的決定的マーカフ過程としてPDQをモデル化すること。
• 現在のキュー長およびシステムモードに基づいて流入を制御する状態フィードバック制御を用いること。
• フォスター＝リャプノフ基準を適用し、正定値解を伴う双線形行列不等式を含む十分な安定性条件を導出すること。
• 安定性の必要条件を確立：すべてのモードにおける平均流入が平均飽和レートを超えないこと。
• 2モードPDQに対して、明示的な解析解を用いて必要十分安定性条件を導出すること。
• リャプノフ関数技法と不変測度の性質を用いて収束速度を分析すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PDQのキュー長分布が一意な不変確率測度に収束する条件は何か？
• RQ2 平均流入と平均容量の関係は、システムの安定性を保証するためにどのようなものか？
• RQ3 マーカフ変調容量下で安定性を維持するためのフィードバック制御ポリシーはどのように設計できるか？
• RQ4 安定PDQシステムにおける不変分布への収束速度は何か？
• RQ5 2モードPDQに対して、必要十分安定性条件を導出できるか？

主な発見

• 安定性の必要条件は、すべての容量モードにおける平均流入が平均飽和レートを超えないことである。
• 安定性の十分条件は、双線形行列不等式が正定値解を有することであり、不変測度が一意であることである。
• 容量モードが正確に2つのみのPDQに対して、明示的に必要十分安定性条件が導出された。
• リャプノフ関数法とシステムパラメータを用いて、不変分布への収束速度が定量的に評価された。
• 単一PDQおよび並列2リンクネットワークにおける例を通じて、フィードバック制御ポリシーが検証され、導出された条件下で安定性が示された。
• 提案された十分安定性条件の下で、キュー長過程の不変確率測度は一意である。