[論文レビュー] Stability and error estimates for the variable step-size BDF2 method for linear and semilinear parabolic equations

Wansheng Wang, Mengli Mao+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2020

Numerical methods for differential equations参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、線形および半線形放物型方程式に適用された可変ステップサイズBDF2法について、零安定性と$ l^∞(0,T;H) $-安定性の間で初めて同等性を確立した。$ l^∞(0,T;H) $-安定性を保証するステップサイズ比の上限が、零安定性の閾値$ R_0 = \sqrt{2}+1 \approx 2.414 $と同一であることを証明し、複数のノルムにおける最適な誤差推定を導出し、初期値が台形則を用いて計算される場合でも、可変時間ステップにおいて2次収束が成立することを確認した。

ABSTRACT

In this paper stability and error estimates for time discretizations of linear and semilinear parabolic equations by the two-step backward differentiation formula (BDF2) method with variable step-sizes are derived. An affirmative answer is provided to the question: whether the upper bound of step-size ratios for the $l^\infty(0,T;H)$-stability of the BDF2 method for linear and semilinear parabolic equations is identical with the upper bound for the zero-stability. The $l^\infty(0,T;V)$-stability of the variable step-size BDF2 method is also established under more relaxed condition on the ratios of consecutive step-sizes. Based on these stability results, error estimates in several different norms are derived. To utilize the BDF method the trapezoidal method and the backward Euler scheme are employed to compute the starting value. For the latter choice, order reduction phenomenon of the constant step-size BDF2 method is observed theoretically and numerically in several norms. Numerical results also illustrate the effectiveness of the proposed method for linear and semilinear parabolic equations.

研究の動機と目的

• 線形および半線形放物型方程式に適用された可変ステップサイズBDF2法の$ l^\infty(0,T;H) $-安定性を確立すること。
• ステップサイズ比の上限が$ l^\infty(0,T;H) $-安定性を保証するものと、零安定性の閾値$ R_0 = \sqrt{2}+1 \approx 2.414 $と一致するかどうかを特定すること。
• 緩いステップサイズ比の条件のもとで、$ l^\infty(0,T;H) $、$ l^\infty(0,T;V) $、$ l^2(0,T;H) $、$ l^2(0,T;V) $の複数のノルムにおけるグローバル誤差推定を導出すること。
• 初期値の計算方法（台形則対後退Euler）が収束次数に与える影響を分析し、特に定常ステップサイズBDF2法における次数低下現象を特定すること。
• 理論的結果の数値的妥当性を検証し、精度と効率の面で定常ステップサイズBDF2法に比べて優れた性能を示す可変ステップサイズBDF2法の優位性を示すこと。

提案手法

• 可変ステップサイズ$ k_n = t^n - t^{n-1} $を有する一般化された時間分割を用いて、線形および半線形放物型方程式の時間離散化に可変ステップサイズBDF2法を適用する。
• 2段階後退差分公式を用い、$ s_n = k_n / (k_n + k_{n-1}) $を介して定義される修正された時間微分作用素$ \bar{\partial}^2_B U^n $を導入し、2次精度を保証する。
• 一般化されたテスト関数$ U^n_\delta = U^n + \delta k_n \bar{\partial}^1_B U^n $を用いて離散方程式をテストし、ヒルベルト空間設定下でのエネルギー推定を可能にする。
• スペクトル法およびエネルギー技法を用いて、$ r_n = k_n/k_{n-1} < \sqrt{2}+1 $の条件下で$ l^∞(0,T;H) $-安定性を証明し、零安定性の境界と一致することを示す。
• 一貫性解析と安定性結果を組み合わせて誤差推定を導出し、$ l^∞(0,T;H) $、$ l^∞(0,T;V) $、$ l^2(0,T;H) $、$ l^2(0,T;V) $ノルムにおけるグローバル誤差バインディングを取得する。
• 初期値$ U^1 $は台形則または後退Eulerスキームにより計算され、後者では特定のノルムにおいて次数低下が生じることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可変ステップサイズBDF2法の$ l^\infty(0,T;H) $-安定性を保証するステップサイズ比の上限が、零安定性の閾値$ R_0 = \sqrt{2}+1 $に一致するか？
• RQ2 先行研究と比較して緩いステップサイズ比の条件のもとで、可変ステップサイズBDF2法の$ l^\infty(0,T;V) $-安定性を確立できるか？
• RQ3 初期値の計算方法（台形則対後退Euler）が、BDF2法の収束次数に影響を及ぼすか、特に$ l^\infty(0,T;V) $および$ l^2(0,T;H,H) $ノルムにおいて顕著か？
• RQ4 可変ステップサイズBDF2法は、非一様グリッド上でも線形および半線形放物型方程式に対して2次収束を維持できるか？
• RQ5 定常ステップサイズBDF2法で観察される次数低下現象が、可変ステップサイズバージョンでも後退Euler法で$ U^1 $を計算する場合に同様に顕在化するか？

主な発見

• 可変ステップサイズBDF2法の$ l^\infty(0,T;H) $-安定性を保証するステップサイズ比の上限が、零安定性の閾値$ R_0 = \sqrt{2}+1 \approx 2.414 $と同一であることが証明され、重要な理論的課題が解決された。
• ステップサイズ比に緩い条件$ r_n < \sqrt{2}+1 $を課した場合でも、$ l^\infty(0,T;V) $-安定性が確立され、以前の境界（例：1.366 や 1.868）を改善した。
• 線形および半線形放物型方程式の両方において、可変時間グリッド上でも$ l^\infty(0,T;H) $、$ l^\infty(0,T;V) $、$ l^2(0,T;H) $、$ l^2(0,T;V) $ノルムで2次収束を達成した。
• 数値実験により、$ \varpi = 3 $の可変ステップサイズBDF2法が2次収束を確認し、全テストノルムにおいて定常ステップサイズBDF2法を上回る精度を示した。
• 後退Euler法で$ U^1 $を計算する場合、定常ステップサイズBDF2法は$ l^\infty(0,T;V) $および$ l^2(0,T;H,H) $ノルムで次数低下を示すが、可変ステップサイズの場合、$ k_1 $を小さくすることでこれを緩和できる。
• 可変ステップサイズBDF2法は2次精度を維持し、特に解の変動が急激な領域において、定常ステップサイズバージョンに比べて優れた性能を示した。