[論文レビュー] Stability and invariants of Hilsum-Skandalis maps

J. Mrčun|ArXiv.org|Jun 23, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用数 42

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間に台を持つエタール $ C^1 $-群コホーズの線形ホロノミー準同型を導入することにより、位相的群コホーズ上の一般化されたフォリエーション（Hilsum-Skandalis写像）の葉に対する安定性定理を確立する。これは、Reeb-ThurstonおよびHaefliger-Reeb-Ehresmannの安定性定理をこの設定に一般化し、線形ホロノミー準同型の核が有限生成でかつコンパクトな軌道空間を持つ葉については、やや弱い条件下でその近傍がすべてコンパクトな葉からなることを証明する。

ABSTRACT

We consider principal bundles as generalized morphisms between topological groupoids. In the category of these generalized morphisms two topological groupoids are isomorphic if and only if they are Morita equivalent. We show that the fibers of a generalized morphism from H to G induce a singular foliation of the topological groupoid H, and we prove a Reeb-Thurston stability theorem for such foliations. Next, we use generalized morphisms to study some Morita invariants of topological groupoids, in particular the homotopy groups of a topological groupoid and the Connes convolution algebra of an etale groupoid.

研究の動機と目的

• フォリエーションの古典的安定性定理を位相的群コホーズ間のHilsum-Skandalis写像の枠組みへと拡張すること。
• バナッハ空間に台を持つエタール $ C^1 $-群コホーズ値のHilsum-Skandalis写像の葉に対して、線形ホロノミー準同型 $ d ilde{H}_L $ を定義し、その性質を調査すること。
• 線形ホロノミー準同型 $ d ilde{H}_L $ の核が有限生成でかつ葉の軌道空間がコンパクトであるような葉が、コンパクトな葉からなる近傍を持つ条件を確立すること。
• 群コホーズの準同型およびバイバンドルの言語を用いて、フォリエーション理論における既存の安定性結果を統一・一般化すること。
• Hilsum-Skandalis写像の圏が、モラータ同値を介して一般化されたフォリエーションおよびその横断的構造を捉えられることを示すこと。

提案手法

• 基点における $ G_0 $ の接空間への $ ilde{H}(L) $ の基本群の表現として、線形ホロノミー準同型 $ d ilde{H}_L $ を定義する。
• 主 $ G $-$ H $-バイバンドルの構造を用いて、Hilsum-Skandalis写像を $ H $ 上の一般化されたフォリエーションとしてモデル化する。
• 安定性の証明を、還元技術を用いて、位相空間間の連続写像のケースに帰着する。
• 分区単位の議論と基本ペア $ (m_i, m'_i) $ の正規化を用いて、セクションの台構造を分解・解析する。
• 帰納法と局所チャートへの還元を用いて一般ケースを扱い、Lemma V.3.5およびV.3.6を用いてセクションの正規化と局所化を行う。
• $ C^r_c $-構成法が $ C^r $-群コホーズの圏上で函手的であることを確立し、代数のモラータ同値と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軌道空間がコンパクトであるHilsum-Skandalis写像の葉が、コンパクトな葉からなる近傍を持つための条件は何か？
• RQ2 Reeb-Thurstonの安定性定理は、バナッハ空間に台を持つ $ C^1 $-群コホーズ値のHilsum-Skandalis写像へとどのように一般化できるか？
• RQ3 線形ホロノミー準同型 $ d ilde{H}_L $ は、葉の安定性を決定づける役割を果たすか？
• RQ4 $ d ilde{H}_L $ の核の性質、特に有限生成性が、葉空間の局所的構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 Hilsum-Skandalis写像は、Haefliger構造をどのように一般化し、フォリエーションの横断的幾何をどのように捉えているか？

主な発見

• 線形ホロノミー準同型 $ d ilde{H}_L $ は、$ ilde{H}(L) $ の基本群の $ G_0 $ の基点における接空間への表現として定義され、ホロノミー作用の線形近似を提供する。
• もし $ d ilde{H}_L $ の核が有限生成であり、かつ葉の軌道空間がコンパクトであれば、その葉はすべてコンパクトな葉からなる近傍を持つ。
• 証明は、$ C^r_c $-構成法の函手性を活用して、位相空間間の連続写像のケースに帰着される。
• Hilsum-Skandalis写像の圏が合成に関して閉じており、位相空間をフルな部分圏として含むことが示された。
• $ C^r_c $-構成法は、$ C^r $-群コホーズの圏から代数の圏への函手を生成し、群コホーズのモラータ同値は、それらの $ C^r_c $-代数のモラータ同値を誘導する。
• $ ilde{H}( ilde{H}(L)) \to \tilde{H}(G) $ の準同型が $ \tilde{H}(L) $ の基本群上で消えることは、葉が一般化された意味で安定であることを示唆する。