[論文レビュー] Stability and limit theorems for sequences of uniformly hyperbolic dynamics

Armando Castro, Fagner B. Rodrigues+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体上のアンソフ微分同相写像や拡大写像を含む、一様に双曲的である動的系の収束列に対して、ほとんど確実な不変性原理とエルゴディック安定性を確立する。生成列に関してリプシッツ連続に変化する逐次的同相写像を導入することで、連続的観測関数のバーキホフ平均が極限系と同一の漸近的挙動を示すことを証明し、中心極限定理のような古典的極限定理を非定常系へと移行可能にする。

ABSTRACT

In this paper we obtain an almost sure invariance principle for convergent sequences of either Anosov diffeomorphisms or expanding maps on compact Riemannian manifolds and prove an ergodic stability result for such sequences. The sequences of maps need not correspond to typical points of a random dynamical system. The methods in the proof rely on the stability of compositions of hyperbolic dynamical systems. We introduce the notion of sequential conjugacies and prove that these vary in a Lipschitz way with respect to the generating sequences of dynamical systems. As a consequence, we prove stability results for time-dependent expanding maps that complement results in [Franks74] on time-dependent Anosov diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• 収束する一様双曲的写像の列によって生成される非定常動的系に対して、中心極限定理や関数中心極限定理のような極限定理を確立すること。
• アンソフ微分同相写像や拡大写像の列に対してエルゴディック安定性を証明し、連続的観測関数のバーキホフ平均が極限系のそれと類似した振る舞いを示すことを示すこと。
• 時間依存双曲的系とその極限系を結ぶ逐次的同相写像の概念を導入・分析し、その生成列に対するリプシッツ連続性を証明すること。
• バーキホフ平均の不規則集合の位相的エントロピーが逐次的同相写像のもとで保存されることを示し、カオス的挙動の構造的安定性を保証すること。
• 非自励的で収束する動的系の系列へ、自律的双曲的系から得られる確率的極限定理を定量的枠組みで移行可能にするフレームワークを提供すること。

提案手法

• 生成列の収束に対する $ C^1 $-収束の下で、双曲的写像の列とその極限写像との間の逐次的同相写像の概念を導入し、それが存在し連続であることを証明する。
• 生成列間の $ C^1 $-距離に関して、逐次的同相写像がリプシッツ連続に変化することを確立し、同相写像の歪みに対して一様な制御を可能にする。
• 同相写像を用いて、極限系の統計的性質（混合性、相関の崩壊、ほとんど確実な不変性原理など）を非自励系の系列へと移行する。
• ペロン＝フロベニウス作用素の枠組みを間接的に適用し、$ F_n = f_{n-1} imes \text{...} \times f_0 $ の力学を極限写像 $ f^n $ の反復と関連づけることで、極限定理の移行を可能にする。
• 同相写像が恒等写像に一様収束することを用いて、バーキホフ平均の不規則集合の位相的エントロピーが同相写像のもとで保存されることを証明する。
• 観測関数のホルダー連続性と、同相写像と恒等写像との $ C^0 $-距離の一様有界性を用いて、バーキホフ和の誤差を制御し、$ C^1 $-誤差がsummableに減少する条件下で、差が $ \text{O}(n^{1/2 - \nu}) $ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ C^1 $-位相で収束する一様双曲的写像の非定常列に対して、中心極限定理のような古典的極限定理を拡張することは可能か？
• RQ2 バーキホフエルゴディック平均や不変測度の観点から、双曲的写像の列の力学とその極限写像の力学はどのように関係するか？
• RQ3 収束するアンソフ微分同相写像または拡大写像の列とその極限系との間に逐次的同相写像が存在するか？また、それらは列に対して連続的に依存するか？
• RQ4 バーキホフ平均の不規則集合の位相的エントロピーは、列とその極限系との間の同相写像のもとで保存されるか？
• RQ5 自律的双曲的系に成立するほとんど確実な不変性原理は、同相写像を介して非自励的・時変系へどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 一様双曲的写像の $ C^1 $-収束列に対して、$ C^1 $-距離における誤差が $ O(j^{-(1/2 + \nu)/\beta}) $ の速度で減少する限り、ほとんど確実な不変性原理が成り立つ。これにより、ホルダー連続観測関数のバーキホフ和は分布収束でブラウン運動に近づく。
• 一様双曲的写像の列とその $ C^1 $-極限写像との間には逐次的同相写像が存在し、列が進行するに従い、それらは恒等写像に一様収束する。
• 同相写像は生成列間の $ C^1 $-距離に関してリプシッツ連続に変化し、リプシッツ定数は極限写像の双曲的境界にのみ依存する。
• バーキホフ平均の不規則集合（Cesàro平均の下限と上限が異なる点の集合）の位相的エントロピーは、同相写像のもとで保存され、極限系の位相的エントロピーと等しい。
• 平均ゼロのホルダー連続観測関数 $ \theta $ に対して、バーキホフ和 $ \frac{1}{n} \theta(F_n(x)) $ は分布収束で平均ゼロ・分散 $ \theta^2 = \text{Var}(\theta) + 2\text{Cov}(\theta, \theta \times f) $ の正規分布に近づく。ただし、$ C^1 $-誤差が十分に速く減少する必要がある。
• 非コブダリィ観測関数に対して、バーキホフ平均が不規則な点の集合は、位相的エントロピーが最大であり、位相空間内でのベール・レジドゥアル集合である。これは極限系および同相写像を介して列の写像に対しても成り立つ。