[論文レビュー] Stability and Optimal Control of Switching PDE-Dynamical Systems

Falk M. Hante|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バナッハ空間およびヒルベルト空間における抽象的発展方程式を用いて、偏微分方程式（PDE）に従うスイッチングシステムの安定性および最適制御の理論的枠組みを構築する。共通のリャプノフ関数を用いて一様指数的安定性の条件を確立し、間歇的減衰系における一般化観測可能性不等式を導出し、収束性および最適性ギャップが保証されたリラクゼーションに基づく最適スイッチング制御手法を提供する。数値的に、熱方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式、輸送方程式を含むPDEに対して検証されている。

ABSTRACT

Selected results for the stability and optimal control of abstract switched systems in Banach and Hilbert space are reviewed. The dynamics are typically given in a piecewise sense by a family of nonlinearly perturbed evolutions of strongly continuous semigroups. Stability refers to characterizations of asymptotic decay of solutions that holds uniformly for certain classes of switching signals for time going to infinity. Optimal control refers to the minimization of costs associated to solutions by appropriately selecting switching signals. Selected numerical results verify and visualize some of the available theory.

研究の動機と目的

• 任意のスイッチング信号に対して、スイッチングPDE動的システムの一様指数的安定性の十分かつ必要十分条件を確立すること。
• 間歇的減衰する散逸系における漸近的安定性のための一般化観測可能性不等式の理論を構築すること。
• 最適スイッチング制御問題における最適値関数の正則性とリラクゼーションギャップを分析すること。
• 最適制御におけるスイッチング時刻の摂動およびモード挿入に対する随伴微分積分法を導出すること。
• 熱方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式、輸送方程式を含むPDEに対する数値的ケーススタディを通じて理論的結果を検証すること。

提案手法

• スイッチングPDE動的システムを、区分的定義された半群生成子とリプシッツ連続な非線形摂動を有する抽象的発展方程式として定式化する。
• 強く連続な半群理論および弱解の定義を用いて、スイッチング区間における解を定義する。
• 共通のリャプノフ関数を用いて、任意のスイッチング信号に対して全空間的一致した指数的安定性を特徴付ける。
• 一般化観測可能性不等式を導出し、間歇的減衰を有する系における漸近的安定性を保証する。
• 混合整数非線形計画（MINLP）形式の最適制御問題を解くために、外部凸化およびリラクゼーション技法を用いる。
• 空間的および時間的離散化に有限体積法および陰的エイラー法を用い、最適スイッチングシーケンスの計算にはGAMSソルバ（BONMIN、BARON）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、任意のスイッチング信号に対してスイッチングPDEシステムの一様指数的安定性が保証されるか？
• RQ2 一般化観測可能性不等式は、間歇的減衰系における漸近的安定性を確立するためにどのように利用可能か？
• RQ3 スイッチングコストを伴う最適スイッチング制御問題におけるリラクゼーションギャップの大きさはどの程度か？
• RQ4 最適値関数の正則性は、スイッチング時刻の摂動およびモード挿入にどのように依存するか？
• RQ5 リラクゼーション技法は、PDEシステムにおける最適スイッチング制御に対して正確な解またはε-最適解をもたらすか？

主な発見

• 1次元輸送方程式のテストケースにおいて、リラクゼーションに基づく手法はΔt = 0.25、Nx = 1000の条件下で相対的整数最適性ギャップが0%に達し、理論的収束率が確認された。
• MINLPソルバGAMS/BONMINは、集中制御を伴う1次元熱方程式に対して最適スイッチング信号λ(t) = 1 − χ(9/4,T](t)を特定したが、Nxが増加するに従い計算時間が指数関数的に増加した。
• 外部凸化／リラクゼーション手法は、Nxが増加してもCPU時間が線形に増加し、Nx = 1000まで実行可能であったのに対し、MINLPソルバはNx > 70で失敗した。
• Nx = 1000の条件下で、Δt ≤ 0.25の範囲において、リラックス制御解はMINLP解と一致した。これにより、リラクゼーション手法の妥当性が裏付けられた。
• 最適コストJ*はNx = 10の0.280からNx = 1000の0.0742に減少し、数値スキームの収束が示された。
• Δt = 0.25における相対的最適性ギャップγ(α³) = 0は、定理7で予測されたようにΔt → 0のときギャップが消滅することを確認した。