[論文レビュー] Stability and rigidity of extremal surfaces in Riemannian geometry and General Relativity

Gregory J. Galloway|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、リーマン幾何学および一般相対性理論における極値的超曲面（最小、一定平均曲率、境界外に捕獲された超曲面）の安定性および剛性に関する結果を確立する。シューレン＝ヨーの最小超曲面手法を漸近的に双曲的多様体へ拡張し、共形変形技術を用いることで、スピン仮定を必要としない正の質量定理を証明する。非負のスカラー曲率および非正の質量側面関数を仮定すると、多様体は双曲的であるか、正の質量を持つことを示す。

ABSTRACT

We examine some common features of minimal surfaces, nonzero constant mean curvature surfaces and marginally outer trapped surfaces, concerning their stability and rigidity, and consider some applications to Riemannian geometry and general relativity.

研究の動機と目的

• スピン条件を要しないように、シューレン＝ヨーの最小超曲面手法を漸近的に双曲的多様体へ拡張し、正の質量定理を確立すること。
• 支配的エネルギー条件を満たす初期データセットにおける境界外に捕獲された超曲面を用いて、ホーキングのブラックホールトポロジー定理を高次元へ一般化すること。
• 非負のスカラー曲率を持つ多様体における安定最小超曲面の剛性を分析し、完全に測地的かつリッチ平坦でない限り、正のスカラー曲率計量を許容しないことを示すこと。
• 漸近的に双曲的多様体において $ S \geq -n(n-1) $ が成り立つとき、質量側面関数の符号が変化しないならば、質量は正であるか、多様体は双曲空間に等長であることを示すこと。

提案手法

• 最小超曲面の面積の第二変分および安定性作用素 $ L(\phi) = -\triangle\phi + \frac{1}{2}(S_\Sigma - S - |B|^2)\phi $ を用いて、最小超曲面の安定性を分析する。
• 非標準的な共形因子 $ \phi^{\frac{2}{n-2}} $ を用いた共形変形技術を適用し、超曲面上のスカラー曲率と安定性作用素を関連付ける。
• 幾何的測度論（GMT）のコンパクトネス結果を用いて、ホモロジー類内に極限最小超曲面を抽出し、$ n \leq 7 $ の場合に滑らかさを保証する。
• 一定平均曲率 $ n-1 $ の $ t $-スライスを用いたバリア法的議論により、最小化列をコンパクト領域内に制約する。
• 最小超曲面からトーラススライスへの次数1の写像の存在を用いて、極限超曲面上に正のスカラー曲率計量が存在しないことを排除する。
• コーヴィノ＝シューレンおよびクリュシエル＝デレイの変形技術を漸近的に双曲的設定へ拡張し、質量側面テンソルの符号を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負の曲率を持つ多様体内のコンパクトな安定最小超曲面が、正のスカラー曲率計量を許容するのはどのような条件下か？
• RQ2 境界外に捕獲された超曲面を用いて、ホーキングのブラックホールトポロジー定理を高次元時空へ一般化できるか？
• RQ3 非負のスカラー曲率を持つ漸近的に双曲的多様体のグローバル幾何に、質量側面関数が果たす役割は何か？
• RQ4 スピン仮定を仮定しないで、漸近的に双曲的多様体における正の質量定理をどのように証明できるか？
• RQ5 質量側面関数が非正であり、スカラー曲率が下から有界であるとき、どのような剛性が生じるか？

主な発見

• 非負のスカラー曲率を持つ多様体内の安定最小超曲面は、完全に測地的かつリッチ平坦で、かつ超曲面上でスカラー曲率が消える場合を除き、正のスカラー曲率計量を許容する。
• スカラー曲率 $ S \geq 0 $ を満たす多様体に、正のスカラー曲率を許容しない安定最小超曲面が存在するならば、その多様体は超曲面の近傍で局所的に双曲空間に等長である。
• スカラー曲率 $ S \geq -n(n-1) $ を満たす漸近的に双曲的多様体において、質量側面関数が非正で符号が変化しないならば、質量は正であるか、多様体は双曲空間に等長である。
• [1] の変形結果により、負の質量側面関数は、$ S \geq -n(n-1) $ を保ちつつ局所的に双曲計量へ変形可能であり、剛性が成立しない（多様体が双曲的でない限り）ことを示す。
• 質量側面関数が恒等的にゼロであるならば、多様体は双曲空間に等長であり、これは鋭い剛性条件を確立する。
• 最小超曲面からトーラスへの次数1の写像の存在は、その超曲面が正のスカラー曲率を許容できないことを示し、ワーブド積分の分解とグローバル剛性を導く。