[論文レビュー] Stability and tail limits of transport-based quantile contours

Cees de Valk, Johan Segers|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Point processes and geometric inequalities被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、原点の近傍を除き無限測度であるが、その外では有限であるような測度のクラスに、ロバート・マカンの最適輸送枠組みを拡張し、弱収束下での多価輸送写像および分位数等高線の安定性を確立する。絶対連続性やモーメント条件、台の制限を要しない条件下で、正則変動する測度の尾極限を、球面基準測度を用いて導出する。

ABSTRACT

We extend Robert McCann’s treatment of the existence and uniqueness of an optimal transport map between two probability measures on a Euclidean space to a class of possibly infinite measures, finite outside neighbourhoods of the origin. For convergent sequences of pairs of such measures, we study the stability of the multivalued transport maps and associated quantile contours, defined as the images of spheres under these maps. The measures involved in the coupling are not required to be absolutely continuous, there are no restrictions on their supports, and no moment assumptions are needed. Weakly convergent sequences of probability measures forming a special case, our results apply to the recently introduced Monge–Kantorovich depth contours. The set-up involving infinite limit measures is applied to regularly varying probability measures: we derive tail limits of transport maps and of quantile contours defined with respect to a judiciously chosen spherical reference measure. Examples are discussed in detail.

研究の動機と目的

• 原点の近傍を除き、その外で有限であるような測度のクラスに、マカンの最適輸送理論を一般化すること。
• 測度列の弱収束下での多価輸送写像および関連する分位数等高線の安定性を検討すること。
• 正則変動する確率測度に対して、輸送写像および分位数等高線の尾極限を確立すること。
• モンジュ＝カンタロヴィチの深さ等高線を、弱収束する確率測度の特別な場合としてこの枠組みに適用すること。
• 輸送に基づく分位数解析において、標準的な仮定（絶対連続性、モーメント条件、台の制限）を排除すること。

提案手法

• 球面基準測度を用いて、分位数等高線を最適輸送写像による球の像として定義する。
• 測度列の弱収束を用いて、輸送写像および等高線の安定性を分析する。
• 原点の外でコンパクトな台を持つ無限測度へと、最適輸送写像の存在および一意性の結果を有限測度を超えて拡張する。
• 正則変動に基づく極限的議論を用いて、輸送写像および等高線の尾挙動を導出する。
• 絶対連続性やモーメントの仮定がない状況での輸送写像の構造を分析する。
• この枠組みを深さ等高線に適用し、近年の多変量データ解析における発展とその関連性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測度が原点の近傍を除き無限大である場合、弱収束下での最適輸送写像および分位数等高線をどのように安定化できるか。
• RQ2 正則変動する確率測度に対して、輸送写像および分位数等高線の尾極限は何か。
• RQ3 モーメント条件や台の制限なしに、最適輸送理論を有限測度や絶対連続測度の枠組みを越えてどの程度拡張できるか。
• RQ4 この一般化された設定下で、モンジュ＝カンタロヴィチの深さ等高線は弱収束下でどのように振る舞うか。
• RQ5 球面基準測度の選択が、安定的かつ解釈可能な分位数等高線を定義する上で果たす役割は何か。

主な発見

• 論文は、測度が原点の近傍を除き無限大であっても、測度列の弱収束下での多価輸送写像および関連する分位数等高線の安定性を確立する。
• 適切に選ばれた球面基準測度を用いて、正則変動する確率測度に対して、輸送写像および等高線の尾極限を導出する。
• この枠組みはモンジュ＝カンタロヴィチの深さ等高線に適用可能であり、弱収束下での安定性および漸近的挙動を確認する。
• 測度の絶対連続性やモーメント条件、台の制限を要しない。
• 理論はマカンの結果を有限測度を超えて一般化し、重尾および無限質量の設定における輸送に基づく解析を可能にする。
• 導出された尾極限は、高次元および正則変動するデータモデルにおける分位数等高線のロバストな漸近的特徴付けを提供する。