[論文レビュー] Stability by Lyapunov functions of Caputo fractional differential equations with non-instantaneous impulses

Ravi P. Agarwal, Snezhana Hristova+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2015

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 8被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非即時インパルスを伴う非線形コッホォー微分方程式におけるリャプノフ関数のための、Caputo分数階のディニ微分の新しい定義を提示する。リャプノフ関数が連続的微分可能である必要を弱め、連続性のみを要件とすることで、零解の均等安定性および漸近的均等安定性の十分条件を確立した。理論的分析と具体的な例を通じて検証された。

ABSTRACT

The stability of the zero solution of a nonlinear Caputo fractional differential equation with noninstantaneous impulses is studied using Lyapunov like functions. The novelty of this paper is based on the new definition of the derivative of a Lyapunov like function along the given noninstantaneous impulsive fractional differential equations. On one side this definition is a natural generalization of Caputo fractional Dini derivative of a function and on the other side it allows us the assumption for Lyapunov functions to be weakened to continuity. By appropriate examples it is shown the natural relationship between the defined derivative of Lyapunov functions and Caputo derivative. Several sufficient conditions for uniform stability and asymptotic uniform stability of the zero solution, based on the new definition of the derivative of Lyapunov functions are established. Some examples are given to illustrate the results.

研究の動機と目的

• 非即時インパルスを伴う非線形コッホォー微分方程式における零解の安定性を分析すること。
• インパルスが有限区間内で継続的に作用する場合に、リャプノフ法を適用する際の課題に対処すること。
• 非即時インパルス構造を考慮したリャプノフ関数のための分数階ディニ微分の概念を一般化すること。
• 古典的な滑らかさ要件を連続性に緩和することで、リャプノフ関数の適用範囲を拡大すること。
• 新しい微分定義を用いて、零解の均等安定性および漸近的均等安定性の十分条件を確立すること。

提案手法

• 非即時インパルスを持つ分数階微分方程式に沿った、リャプノフ関数のための新しい一般化されたCaputo分数階ディニ微分を提案する。
• インパルス系に適した2種類の分数階微分を定義する：分数階ディニ微分およびCaputo分数階ディニ微分。
• 新しい微分定義を区分的連続なリャプノフ関数に適用し、微分可能性の代わりに連続性を許容する。
• 一般化された微分を用いて、零解の均等安定性および漸近的均等安定性の十分条件を導出する。
• 例として、二次および非二次のリャプノフ関数を用いた例を構築し、理論的結果の妥当性を検証する。
• 一般化された微分の符号とインパルス区間における関数の挙動を確認することで、安定性条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コッホォー微分方程式に非即時インパルスが存在する場合、リャプノフ関数はどのように安定性解析に適応できるか？
• RQ2 非即時インパルス構造を適切に反映する、Caputo分数階ディニ微分の適切な一般化は何か？
• RQ3 リャプノフ関数の滑らかさ要件を、連続的微分可能から連続性に緩和しても、安定性解析の有効性は保たれるか？
• RQ4 非即時インパルスを持つ分数階系の零解が、どのようにして均等または漸近的均等安定であるかの条件は何か？
• RQ5 新しい微分定義は、標準的なCaputo微分および古典的リャプノフ理論とどのように関係しているか？

主な発見

• 非即時インパルスを持つ分数階系におけるリャプノフ関数のための、新しい一般化されたCaputo分数階ディニ微分が定義され、より弱い滑らかさ仮定のもとでの安定性解析が可能になった。
• 提案された微分は、Caputo分数階ディニ微分の自然な一般化であり、リャプノフ関数が微分可能である必要はなく、連続性のみを要件とする。
• 新しい微分定義を用いて、零解の均等安定性および漸近的均等安定性の十分条件が確立された。
• 理論的結果は例を通じて検証された：例2および例7では、有界なインパルス効果を持つ二次リャプノフ関数を用いて均等安定性が示された。
• 例8では、システムのダイナミクスに符号の変化があるため、標準的なリャプノフ法では失敗する状況においても、一般化されたCaputo微分が有効であることが示された。
• 例8の系の零解は、新しい微分定義により安定であることが証明されたが、標準的な分数階ディニ微分では、振動的挙動のため結論が得られなかった。