[論文レビュー] Stability conditions for the explicit integration of projection based nonlinear reduced-order and hyper reduced structural mechanics finite element models

C. Bach, Linze Song+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2018

Model Reduction and Neural Networks参考文献 41被引用数 5

ひとこと要約

本論文は、構造力学におけるガレルキン射影に基づく非線形低次元モデル（ROM）が、明示的中央差分時間積分法を用いる場合、フルオーダーモデルに比べてより大きなまたは同等の安定時間刻みサイズを示すという、きめ細やかな理論的分析を提供している。主な貢献は、基底の切断に起因する固有値の分離が数値的安定性を向上させることを数学的に証明した点であり、安定性を損なわずにより大きな時間刻みを使用可能にし、シミュレーションを高速化できる。

ABSTRACT

Projection-based nonlinear model order reduction methods can be used to reduce simulation times for the solution of many PDE-constrained problems. It has been observed in literature that such nonlinear reduced-order models (ROMs) based on Galerkin projection sometimes exhibit much larger stable time step sizes than their unreduced counterparts. This work provides a detailed theoretical analysis of this phenomenon for structural mechanics. We first show that many desirable system matrix properties are preserved by the Galerkin projection. Next, we prove that the eigenvalues of the linearized Galerkin reduced-order system separate the eigenvalues of the linearized original system. Assuming non-negative Rayleigh damping and a time integration using the popular central difference method, we further prove that the theoretical linear stability time step of the ROM is in fact always larger than or equal to the critical time step of its corresponding full-order model. We also give mathematical expressions for computing the stable time step size. Finally, we show that under certain conditions this increase in the stability time step even extends to some hyper-reduction methods. The findings can be used to compute numerical stability time step sizes for the integration of nonlinear ROMs in structural mechanics, and to speed up simulations by permitting the use of larger time steps.

研究の動機と目的

• 明示的時間積分を用いたROMがフルオーダーモデルに比べてより大きな安定時間刻みを示すという文献に見られる現象を説明すること。
• 明示的時間積分下でのガレルキン射影に基づく非線形ROMの数値的安定性をきめ細かく分析すること。
• ROMがフルオーダーモデルの安定性を継承または改善する数学的条件を確立すること。
• この安定性の向上が、DEIM や ECSW などのハイパーレダクション手法に対しても拡張可能かどうかを調査すること。
• 低次元基底（ROB）が系の固有値および安定時間刻みに与える影響を定量化すること。

提案手法

• ガレルキン射影に基づくROMの線形化された方程式系を導出し、その系行列の固有値構造を分析する。
• 線形化ROM系の固有値がフルオーダーモデルの固有値と入れ子の関係にあり、安定性の向上を保証することを証明する。
• 中央差分法を時間積分に適用し、固有値の境界に基づいて理論的安定性条件を導出する。
• 非負のレイリー減衰および M-直交または準直交の低次元基底が安定性に与える影響を分析する。
• DEIM や ECSW といったハイパーレダクション技術が、対称性、正定値性、固有値の入れ子関係をどの程度保持するかを評価する。
• 行列理論およびスペクトル解析を用いて、ROMにおける安定時間刻みサイズの閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 構造力学におけるガレルキン射影ベースのROMが、明示的積分法を用いる場合、なぜフルオーダーモデルに比べてより大きな安定時間刻みを許容するのか？
• RQ2 線形安定性時間刻みがROMでフルオーダーモデルを上回るか同等になる数学的条件は何か？
• RQ3 DEIM や ECSW を用いたハイパーレダクションモデルにおいて、安定性の向上がどの程度保持されるか？
• RQ4 低次元基底（ROB）の選択が固有値分布およびROMの安定性にどのように影響するか？
• RQ5 ROMにおける安定性の維持または向上に不可欠なシステム行列の構造的性質（例：対称性、正定値性）は何か？

主な発見

• 線形化されたガレルキンROM系の固有値は、フルオーダーモデルの固有値と入れ子の関係にあり、ROMの最大固有値がフルオーダーモデルの最大固有値以下であることを保証する。
• 非負のレイリー減衰および準直交または M-直交の低次元基底の下では、理論的線形安定性時間刻みは、常にROMがフルオーダーモデルを上回るか同等である。
• 安定性の向上は、基底の適切な直交的切断に起因する固有値の分離に起因する。
• DEIM を用いたハイパーレダクションは、固有値の入れ子関係および行列の対称性を保持しないため、安定性が低下する可能性がある。
• ECSW は行列の対称性および正半定値性を保持するが、固有値の入れ子関係を保証するとは限らないため、中程度の安定性挙動を示す。
• 本研究の知見により、オンラインROMシミュレーションでより大きな時間刻みを使用可能にし、安定性を損なわず計算性能を直接的に向上できる。