[論文レビュー] Stability, convergence to equilibrium and simulation of non-linear Hawkes Processes with memory kernels given by the sum of Erlang kernels

Aline Duarte, Eva Löcherbach+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Point processes and geometric inequalities被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Erlangカーネルの和からなる記憶核を有する非線形Hawkes過程の安定性および平衡への指数的収束を、それらをマコビアンカスケード（区分的確率的マコビアン過程、PDMP）としてモデル化し、部分積分とバーデルモンド行列の可逆性を用いて正のハリス再帰性を証明することにより確立する。さらに、このような過程の効率的なシミュレーションのための修正版スプライシングアルゴリズムを導入する。

ABSTRACT

Non-linear Hawkes processes with memory kernels given by the sum of Erlang kernels are considered. It is shown that their stability properties can be studied in terms of an associated class of piecewise deterministic Markov processes, called Markovian cascades of successive memory terms. Explicit conditions implying the positive Harris recurrence of these processes are presented. The proof is based on integration by parts with respect to the jump times. A crucial property is the non-degeneracy of the transition semigroup which is obtained thanks to the invertibility of an associated Vandermonde matrix. For Lipschitz continuous rate functions we also show that these Markovian cascades converge to equilibrium exponentially fast with respect to the Wasserstein distance. Finally, an extension of the classical thinning algorithm is proposed to simulate such Markovian cascades.

研究の動機と目的

• Erlangカーネルの和として与えられる記憶核を有する非線形Hawkes過程の長期的挙動および安定性を分析すること。
• 関連するマコビアンカスケードが正のハリス再帰的であるための条件を確立すること。
• Lipschitz連続なレート関数に対して、Wasserstein距離における平衡への指数的収束を証明すること。
• これらのマコビアンカスケードのための新しいスプライシングに基づくシミュレーションアルゴリズムを開発すること。
• Erlangカーネルに基づくHawkes過程が、コンパクトな時間区間上で一般の可積分記憶核を任意に良く近似できることを示すこと。

提案手法

• Hawkes過程の強度過程を、連続的かつ確率的なマコビアン過程（PDMP）としてモデル化し、これを「逐次的記憶項のマコビアンカスケード」と呼ぶ。
• 各記憶項を、ジャンプ間で決定的に進化し、ジャンプ時にErlangカーネルのパラメータに従うフローによって更新される補助過程で表現する。
• ジャンプ時刻に関する部分積分を適用し、遷移密度の分析と半群の非退化性の確立を行う。
• 関連するバーデルモンド行列の可逆性を活用して、遷移密度が正に有界であることを保証し、再帰性の解析を可能にする。
• カップリング技法とWasserstein距離を用いて、レート関数のLipschitz連続性の下で平衡への指数的収束を証明する。
• Erlangカーネルが誘導するマコビアン構造を活用して、古典的スプライシングアルゴリズムを拡張し、マコビアンカスケードのシミュレーションを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Erlang和記憶核を有する非線形Hawkes過程に関連するマコビアンカスケードが、どのような条件下で正のハリス再帰的となるか。
• RQ2 Erlangカーネル分解の構造が、Hawkes過程をPDMPフレームワークに還元するためにどのように寄与するか。
• RQ3 このような過程がWasserstein距離において平衡に指数的に収束するための条件は何か。
• RQ4 マコビアンカスケードの遷移密度が非退化であることを示すことは可能か。その根拠は何か。
• RQ5 古典的スプライシングアルゴリズムを、Erlang和記憶核を有する非線形Hawkes過程に適応する方法は何か。

主な発見

• 標準的なサブクリティカル条件 ‖f′‖L∞ < 1 の下で、Erlang和記憶核を有する非線形Hawkes過程に関連するマコビアンカスケードは正のハリス再帰的である。
• Lipschitz連続なレート関数に対して、Wasserstein距離における平衡への指数的収束が確立され、収束速度はErlangカーネルのパラメータに依存する。
• カーネルパラメータから構成されるバーデルモンド行列の可逆性を用いて、遷移半群の非退化性が証明され、厳密に正の密度の存在が保証される。
• マコビアンカスケードのマコビアン構造を活用したスプライシングアルゴリズムの拡張により、このような過程のシミュレーションが実現可能となる。
• Erlang和記憶核のクラスは L¹(ℝ₊) で稠密であり、任意の可積分記憶核はコンパクト時間区間上で任意に良く近似可能である。
• 再帰性の証明は、微分同相写像と変数変換を用いた再帰的帰納法に依拠しており、鍵となるステップは変換のヤコビアン行列式が0でないことである。