[論文レビュー] Stability, energy functionals, and Kähler-Einstein metrics

D. H. Phong, Jacob Sturm|ArXiv.org|Mar 24, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、グラスマンニアン上のラインバンドルの切断に新しい半ノルム $||\cdot||_{\#}$ を導入し、チャウ多様体の特異点集合に台を持つ現在の項を除き、ケーラー＝アインシュタイン計量上のマブーチエネルギー関数のを正確に捉える。主な結果は、$SL(N+1,\mathbb{C})$ の作用の下で、一般化されたマブーチエネルギーとチャウ埋め込みの対数的ノルム比の間の正確な対応関係を確立し、ケーラー幾何における安定性、エネルギー関数、標準計量の間の洗練された関係を提供する。

ABSTRACT

An explicit seminorm $||f||_{#}$ on the vector space of Chow vectors of projective varieties is introduced, and shown to be a generalized Mabuchi energy functional for Chow varieties. The singularities of the Chow varieties give rise to currents supported on their singular loci, while the regular parts are shown to reproduce the Mabuchi energy functional of the corresponding projective variety. Thus the boundedness from below of the Mabuchi functional, and hence the existence of Kähler-Einstein metrics, is related to the behavior of the current $[Y_s]$ and the seminorm $||f||_{#}$ along the orbits of $SL(N+1,{\bf C})$.

研究の動機と目的

• $H^0(Gr, O(d))$ 上にマブーチエネルギー関数の、チャウベクトル空間上の関数のを正確に捉える新しい半ノルム $||\cdot||_{\#}$ を構成すること。
• 特異点を持つチャウ多様体上の一般化されたマブーチエネルギーと、$SL(N+1,\mathbb{C})$ の作用の下でのチャウ埋め込みの対数的ノルム比との間の正確な対応関係を確立すること。
• ケーラー幾何におけるエネルギー関数と安定性条件の漸近的同値性において、特異点集合の果たす役割を明確にすること。
• チャウ多様体の特異点からの現在の補正を組み込むことによって、ケーラー＝アインシュタイン幾何における安定性の理解を拡張すること。

提案手法

• Fubini-Study形式 $\omega_{Gr}$、$|f(z)|^2 / |P\ell(z)|^{2d}$ の比の対数、および $Z = \{f = 0\}$ の零点集合への積分測度を含む積分表現を用いて、半ノルム $||f||_{\#}^2$ を定義する。
• グラスマンニアン上にケーラー形式 $\omega_{Gr}$ を定義するために、$P\ell: Gr \to \mathbb{P}(\wedge^{N-n}\mathbb{C}^{N+1})$ によるプルバックとしてFubini-Study計量を用いる。
• 特異点集合 $Y_s$ 上の現在 $[Y_s]$ を含む補正項を含む一般化されたマブーチエネルギー $\nu_{\omega}^{\#}(\phi_{\sigma})$ を導入する。
• $\sigma \in SL(N+1,\mathbb{C})$ に対して、エネルギーとノルムの間の基本的恒等式 $\nu_{\omega}^{\#}(\phi_{\sigma}) = \frac{D(m+2)(d-1)}{V(m+1)} \log \frac{||\sigma \cdot \mathrm{Chow}(X)||_{\#}^2}{||\mathrm{Chow}(X)||_{\#}^2}$ を確立し、群作用とエネルギー関数の間の関係を明示する。
• 対数的可積分性と $|\nabla f|^2$ の上界ノルム推定を用いて、$||\cdot||_{\#}$ の連続性と退化性を分析する。
• デリーニュ双対性計量 $||\cdot||_D$ をマブーチエネルギーと関連付け、TianのQuillen計量 $||\cdot||_Q$ と恒等式 $\nu_{\omega}(\phi_{\sigma}) = C \log \frac{||\sigma \cdot b||_D^2}{||b||_D^2}$ を用いて比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラスマンニアン上の多項式空間に、チャウベクトル上のマブーチエネルギーを正確に再現する半ノルムをどのように構成できるか。
• RQ2 チャウ多様体の特異点集合が、エネルギー関数と安定性条件の間の漸近的同値性において果たす正確な役割は何か。
• RQ3 特異点を持つチャウ多様体上の一般化されたマブーチエネルギーは、滑らかである部分の標準マブーチエネルギーとどのように関係しているか。
• RQ4 相対 canonical バンドル上のデリーニュ双対性計量を用いて、群作用の下でのセクションのノルムの観点からマブーチエネルギーを表現できるか。
• RQ5 新しい半ノルム $||\cdot||_{\#}$ と、Quillenの $||\cdot||_Q$ のような既存の安定性ノルムとの関係は何か。

主な発見

• 半ノルム $||\cdot||_{\#}$ は $H^0(Gr, O(d))$ 上で適切に定義されており、$||\lambda f||_{\#} = |\lambda| \cdot ||f||_{\#}$ を満たし、非負であるが、$d > 1$ のとき退化している。
• 一般化されたマブーチエネルギー $\nu_{\omega}^{\#}(\phi_{\sigma})$ には、特異点集合 $Y_s$ 上の現在 $[Y_s]$ を含む補正項が含まれており、これは滑らかでない部分と特異点部分の間の差異を説明する。
• 主結果（定理1）は、正確な恒等式 $\nu_{\omega}^{\#}(\phi_{\sigma}) = \frac{D(m+2)(d-1)}{V(m+1)} \log \frac{||\sigma \cdot \mathrm{Chow}(X)||_{\#}^2}{||\mathrm{Chow}(X)||_{\#}^2}$ を確立し、群作用とエネルギー関数の間の関係を明示する。
• $||\cdot||_{\#}$ は、$H^0(Gr, O(d))$ 上の任意のノルム $||\cdot||_B$ によって支配される。すなわち、ある $C > 0$ に対して $||f||_{\#} \leq C ||f||_B$ が成り立つ。これは対数的被積分関数の連続性に起因する。
• 証明は、特異点を持つチャウ多様体上の一般化されたマブーチエネルギーが、射影とプルーリュク座標の幾何から自然に生じることを示しており、$R(h) = \theta^*\omega_{N-1} - \omega_n - \omega_{N-n-1}$ である。
• デリーニュ双対性計量 $||\cdot||_D$ は、$\nu_{\omega}(\phi_{\sigma}) = C \log \frac{||\sigma \cdot b||_D^2}{||b||_D^2}$ を満たし、代数幾何と安定性理論におけるエネルギー関数の間の深い関係を示唆する。