[論文レビュー] Stability Estimates for an Inverse Hyperbolic Initial Boundary Value Problem with Unknown Boundaries

Sergio Vessella|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、波動方程式の解およびその法線微分の有限時間境界測定値から、領域境界の未知部分を回復する逆超仮性問題に関する対数的安定性推定を確立する。FBI変換技術、定量的一意的連続性推定、および三球不等式を組み合わせることで、事前正則性および幾何的制約のもとで、2つの領域間のハウスドルフ距離が測定誤差の対数関数で抑えられることを証明する。この結果は、十分に大きくはあるが有限な観測時間に対して成り立つ。

ABSTRACT

In this paper we prove stability estimates of logarithmic type for an inverse problem consisting in the determination of unknown portions of the boundary of a domain in $\\mathbb{R}^n$, from a knowledge, in a finite time observation, of overdetermined boundary data for initial boundary value problem for anisotropic wave equation.

研究の動機と目的

• 波動方程式の解およびその法線微分の有限時間境界測定値から、領域境界の未知部分を回復する逆問題の安定性推定を確立すること。
• 楕円型および放物型問題と比較して、超仮性問題における安定性結果の不足を解消すること。
• 事前幾何的および正則性仮定のもとで、未知境界が測定されたコーシー・データに連続的に依存することを証明すること。
• 与えられた条件下で、対数的安定性が最良の可能性であることを示し、ジョンの反例と整合的であることを示すこと。

提案手法

• 超仮性波動方程式を、拡張領域における2階楕円型方程式に変換するため、フーリエ＝ブロス＝イアゴリニツァー（FBI）変換を適用し、コーシー問題の推定に適した形に変形する。
• 楕円型方程式におけるコーシー問題の安定性推定（[Al-R-Ro-Ve] で得られたもの）を用いて、共通部分領域における解の差を制御する。
• 波動方程式における強一意的連続性の定量的推定（[Ve3] で確立）を用い、未知境界付近における解の消滅速度を評価する。
• 形 $ e^{2\tau |X|^{-\beta}} $ の重み関数を有する鋭い三球不等式を適用し、調和的類似解の減衰を評価する。
• 勾配およびヘッセ行列のノルムが制御可能な切り捨て関数 $ \eta $ を導入し、重なった中空領域におけるエネルギー推定を局所化する。
• キャッチョッリ型不等式とエネルギー推定を組み合わせ、測定誤差および事前データの関数としての最終的な対数的安定性バインディングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動方程式の解およびその法線微分の有限時間境界測定値から、領域の未知境界部分を安定的に再構成できるか？
• RQ2 限られたデータのもとで、未知境界を有する逆超仮性問題の最良の安定性率は何か？
• RQ3 定量的一意的連続性推定をどのように超仮性方程式に適応し、未知境界付近における解の減衰を制御できるか？
• RQ4 領域および係数に関する幾何的および正則性仮定が、安定性推定にどの程度影響を与えるか？
• RQ5 与えられた仮定のもとで、対数的安定性が最良の可能性であるか。また、既知の反例と整合的か？

主な発見

• 未知境界を有する2つの領域間のハウスドルフ距離は、コーシー・データにおける測定誤差の対数関数で抑えられる。
• 安定性推定は対数的であり、超仮性逆問題におけるジョンの反例と整合的であるため、最良の可能性である。
• 領域、未知境界、境界データ、および十分に大きくはあるが有限な観測時間 $ T $ に対する事前仮定のもとで、この結果は成り立つ。
• 証明は、FBI変換、定量的一意的連続性推定、および指数的重み関数付きの鋭い三球不等式の新規な組み合わせに依存する。
• 最終的な安定性バインディングは、係数行列 $ A(x) $ の事前正則性、領域の幾何構造、測定誤差に依存するが、誤差の多項式的サイズには依存しない。
• 推定は一様である。測定誤差の大きさに関わらず、$ T $ が十分に大きい限り、同じ安定性定数が適用可能である。