[論文レビュー] Stability estimates for the Calder\'on problem with partial data

David Dos Santos Ferreira, Pedro Caro+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2014

Numerical methods in inverse problems参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、n > 3次元における部分データを用いた Calderón 問題について、log-log型のグローバル安定性推定を確立し、先行する局所的結果を拡張する。非等方的設定における複素幾何学的オプティクス解を用いて、シュレーディンガー方程式におけるポテンシャルが部分的 Dirichlet-to-Neumann データから安定に再構成可能であることを証明し、一意性結果をグローバル安定性フレームワークに一般化する。

ABSTRACT

This is a follow-up of a previous article where we proved local stability estimates for a potential in a Schrodinger equation on an open bounded set in dimension $n=3$ from the Dirichlet-to-Neumann map with partial data. The region under control was the penumbra delimited by a source of light outside of the convex hull of the open set. These local estimates provided stability of log-log type corresponding to the uniqueness results in Calderon's inverse problem with partial data proved by Kenig, Sjostrand and Uhlmann. In this article, we prove the corresponding global estimates in all dimensions higher than three. The estimates are based on the construction of solutions of the Schrodinger equation by complex geometrical optics developed in the anisotropic setting by Dos Santos Ferreira, Kenig, Salo and Uhlmann to solve the Calderon problem in certain admissible geometries.

研究の動機と目的

• n > 3次元における部分データを用いた Calderón 問題の局所的安定性推定を、グローバル推定へと拡張すること。
• シュレーディンガー方程式におけるポテンシャルを部分的 Dirichlet-to-Neumann データから回復する逆問題に対して、log-log型の定量的安定性バインディングを確立すること。
• Kenig, Sjöstrand, Uhlmann が得た先行の一意性結果を、高度な解構成を用いてグローバル安定性フレームワークへ一般化すること。
• 非等方的複素幾何学的オプティクス法を用いて、高次元における部分データ設定を扱うこと。

提案手法

• Dos Santos Ferreira, Kenig, Salo, Uhlmann が開発した非等方的幾何におけるシュレーディンガー方程式の複素幾何学的オプティクス解の構築。
• 境界の部分集合に制限された Dirichlet-to-Neumann マップに注目することで、非等方的フレームワークを部分データに適応すること。
• Carleman推定と漸近的解析を用いて、解の挙動および境界におけるトレースの制御。
• 異なるポテンシャルに対応する解を比較し、それらの差が Dirichlet-to-Neumann マップの差とどのように関係するかを導出することで、安定性推定を導出すること。
• penumbra領域に限定された局所的推定から、n > 3次元における全ドメインにわたるグローバル推定への安定性フレームワークの拡張。
• 非等方的設定の構造を活用して、複素幾何学的オプティクス解の必要な可解性および減衰性を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n > 3次元における部分データを用いた Calderón 問題について、log-log型のグローバル安定性推定を確立できるか？
• RQ2 非等方的複素幾何学的オプティクス法は、局所的安定性結果をグローバルなものへ拡張するためにどのように機能するか？
• RQ3 高次元におけるポテンシャルの差と部分的 Dirichlet-to-Neumann データの差との間の定量的バインディングは何か？
• RQ4 部分データ設定において、安定性フレームワークは凸包や penumbra領域を超えてどの程度一般化可能か？
• RQ5 非等方的設定においてグローバル安定性を達成するために、幾何にどのような構造的仮定が必要か？

主な発見

• n > 3次元における部分データを用いた Calderón 問題について、log-log型のグローバル安定性推定が確立された。
• 安定性結果は、ドメインの凸包の外側の penumbra領域に限定されていた先行の局所的推定を拡張したものである。
• 非等方的設定における複素幾何学的オプティクス解の構築により、グローバル安定性バインディングが導出可能となった。
• 本手法は、Dos Santos Ferreira, Kenig, Salo, Uhlmann が開発した非等方的フレームワークに依存しており、部分データ問題を扱える。
• 推定値は、高次元における部分データを用いた Calderón 問題の一意性結果の定量的版を提供する。
• 本研究は、局所的領域を超えて安定性フレームワークを一般化し、グローバルな再構成安定性保証を提供する。