[論文レビュー] Stability estimates in stationary inverse transport

Guillaume Bal, Alexandre Jollivet|ArXiv.org|Apr 8, 2008

Numerical methods in inverse problems参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、境界データを速度ベクトルに直交する平面へ写像する幾何的変換を用いて、定常線形輸送方程式における空間依存散乱係数および吸収係数の再構成に関する $L^1$-安定性推定を確立する。主な貢献は、$n \geq 3$ 次元における厳密な安定性結果であり、従来の空間的に一様な散乱係数に限局した結果を拡張するものである。

ABSTRACT

We study the stability of the reconstruction of the scattering and absorption coefficients in a stationary linear transport equation from knowledge of the full albedo operator in dimension $n\geq3$. The albedo operator is defined as the mapping from the incoming boundary conditions to the outgoing transport solution at the boundary of a compact and convex domain. The uniqueness of the reconstruction was proved in [M. Choulli-P. Stefanov, 1996 and 1999] and partial stability estimates were obtained in [J.-N. Wang, 1999] for spatially independent scattering coefficients. We generalize these results and prove an $L^1$-stability estimate for spatially dependent scattering coefficients.

研究の動機と目的

• 定常線形輸送方程式における空間依存散乱係数および吸収係数の再構成に関する $L^1$-安定性推定を証明すること。
• 空間的に一様な散乱係数に限局した部分的安定性しか確立されていなかった先行研究を拡張すること。
• 入射条件をある平面から出射測定値へ写像するアルベド作用素を用いる幾何的枠組みを構築し、解析を単純化すること。
• 非臨界性条件の下で、$L^1$ 空間における輸送作用素の適切な定義および有界性を確立すること。
• 現実的なイメージング幾何における境界測定値から、安定な散乱および吸収係数再構成のための基盤を提供すること。

提案手法

• 原点からの径方向拡張を用いて領域を変換し、元の境界 $\Gamma_\pm$ を速度ベクトルに直交する新しい平面 $F_\pm$ へ写像することで、単一散乱寄与の解析を単純化する。
• アルベド作用素 $\mathcal{A}$ を $L^1(F_-)$ から $L^1(F_+)$ への写像として定義し、入射データから出射データへの前向き輸送解を表す。
• 関数解析的アプローチを用いてアルベド作用素を特異成分に分解し、収縮する台を持つテスト関数を用いて単一散乱寄与を分離する。
• 自由輸送作用素 $\mathbf{T}_1$ と散乱を表す $A_2$ を用いた摂動論法に基づく $\mathbf{T} = \mathbf{T}_1 + A_2$ を用い、有界な逆作用素が存在することを証明する。
• フレドホルムの補題およびノイマン級数を用いて、$\mathbf{T}^{-1}$ が $L^1(O, |v|\,dxdv)$ で存在し有界であることを示し、輸送方程式の適切な定義を保証する。
• アルベド作用素の作用素ノルム $\|\mathcal{A}\|_{\mathcal{L}(L^1(F_-), L^1(F_+))}$ を用いて、係数の差を有界化することで安定性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常線形輸送方程式における空間依存散乱係数および吸収係数の再構成について、$L^1$-安定性推定を確立できるか。
• RQ2 測定設定の幾何的構造が逆輸送再構成の安定性にどのように影響するか。
• RQ3 単一散乱寄与が安定性解析において果たす役割は何か。また、台が収縮するテスト関数を用いて、それらをどのように分離できるか。
• RQ4 どのような条件下で、$L^1$-関数空間における輸送作用素 $\mathbf{T}$ が可逆であるか。
• RQ5 入射および出射データが速度ベクトルに直交する平面に定義される変換された幾何において、アルベド作用素を解析できるか。

主な発見

• 本稿では、空間依存散乱係数および吸収係数の再構成について、$L^1$-安定性推定を確立し、空間的に一様な散乱係数に限局した先行研究を一般化する。
• 適切な非臨界性仮定の下で、アルベド作用素 $\mathcal{A}$ は $L^1(F_-)$ から $L^1(F_+)$ への有界作用素であることが示された。
• 輸送方程式の解は $L^1(O, |v|\,dxdv)$ で一意に解かれ、解作用素のノルムは $\|\sigma\|_{\infty}$ および $\|\sigma_p\|_{\infty}$ によって制御される。
• 輸送作用素 $\mathbf{T}$ の逆作用素は $L^1(O, |v|\,dxdv)$ で有界であることが保証され、前向き問題の安定性を確保し、安定性推定の導出を可能にする。
• 安定性推定は、$\mathbf{T}^{-1} = \mathbf{T}_1^{-1}(I + A_2\mathbf{T}_1^{-1})^{-1}$ のノイマン級数展開を用いて導出され、作用素ノルム $\|A_2\mathbf{T}_1^{-1}\|$ が $1 - e^{-2R\mathrm{v}_0^{-1}\|\sigma_p\|_{\infty}} < 1$ で有界であるため、収束が保証される。
• 最終的な安定性評価は、$\|f\|_{L^1(O,|v|dxdv)} \leq C_0 \|f_-–\|_{F_-}$ として表され、ここで $C_0$ は $R$、$\mathrm{v}_0^{-1}$、$\|\sigma\|_{\infty}$、および摂動作用素の逆作用素のノルムに依存する。