[論文レビュー] Stability for a continuous SOS-interface model in a randomly perturbed periodic potential

Christof Kuelske|ArXiv.org|Dec 22, 1998

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、d次元格子上の連続的SOSモデルに弱い不規則性を持つ周期的ポテンシャルを導入した場合に、d ≥ 3+1において低温領域でほとんど確実な局在化が成立することを確立している。連続的から離散的への単一サイト粗化解析を用い、不規則な整数値SOSモデルと結びつけることで、無限体積グリーン関数が、指数的減衰する相互作用を持つ離散モデルの配置を中心とする質量のあるガウス型場の重ね合わせに分解されることを示している。

ABSTRACT

We consider the Gibbs-measures of continuous-valued height configurations on the $d$-dimensional integer lattice in the presence a weakly disordered potential. The potential is composed of Gaussians having random location and random depth; it becomes periodic under shift of the interface perpendicular to the base-plane for zero disorder. We prove that there exist localized interfaces with probability one in dimensions $d\geq 3+1$, in a `low-temperature' regime. The proof extends the method of continuous-to-discrete single- site coarse graining that was previously applied by the author for a double-well potential to the case of a non-compact image space. This allows to utilize parts of the renormalization group analysis developed for the treatment of a contour representation of a related integer-valued SOS-model in [BoK1]. We show that, for a.e. fixed realization of the disorder, the infinite volume Gibbs measures then have a representation as superpositions of massive Gaussian fields with centerings that are distributed according to the infinite volume Gibbs measures of the disordered integer-valued SOS-model with exponentially decaying interactions.

研究の動機と目的

• d次元格子上における不規則な周期的ポテンシャル内の連続的高さ界面の安定性を調査すること。
• 弱い不規則性のもとで局在化グリーン関数が存在する条件を特定すること。
• 連続的から離散的への粗化解析法を、連続的SOSモデルにおける非コンパクトな像空間へと拡張すること。
• 連続的モデルのグリーン関数と、指数的減衰する相互作用を持つ関連する整数値SOSモデルのグリーン関数との関係を確立すること。
• 無限体積グリーン関数を、不規則性依存の中心を持つ質量のあるガウス型場の重ね合わせとして表現すること。

提案手法

• 連続的高さモデルを有効な離散スピン系に写像するために、連続的から離散的への単一サイト粗化解析を適用すること。
• 指数的減衰する相互作用を持つ整数値SOSモデルに特化したレノルミズーション群技法を活用すること。
• 不規則なポテンシャルを、ランダムな位置と深さを持つガウス関数の重ね合わせとして扱い、不規則性がゼロに近づく極限で周期的になるようにすること。
• 不規則性のほとんどすべての実現に対して、d ≥ 3+1において系が局在化することを証明すること。
• 連続的モデルの無限体積グリーン関数を、離散SOSモデルの配置を中心とする質量のあるガウス型場の混合として表現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱い不規則性を持つ周期的ポテンシャルを有する連続的SOSモデルは、高次元において局在化グリーン関数を示すか？
• RQ2 連続的から離散的への粗化解析法は、不規則系における非コンパクトな像空間へと拡張可能か？
• RQ3 連続的モデルの無限体積グリーン関数は、対応する整数値SOSモデルのそれとどのように関係するか？
• RQ4 不規則性の構造—ランダムな位置と深さを持つガウス関数—は、局在化を可能にする役割を果たすか？
• RQ5 弱い不規則性のもとで、連続的SOSモデルにおいて局在化がほとんど確実に発生するのはどの次元か？

主な発見

• 弱い不規則性と低温領域のもとで、d ≥ 3+1において、界面が確率1で局在化する。
• 連続的モデルの無限体積グリーン関数は、質量のあるガウス型場の重ね合わせとして表現される。
• これらのガウス型場の中心は、指数的減衰する相互作用を持つ不規則な整数値SOSモデルの無限体積グリーン関数に従う。
• 従来の二重井戸ポテンシャルからの粗化解析手法を、非コンパクトな像空間へと拡張した。
• 固定された不規則ポテンシャルのほとんどすべての実現に対して結果が成り立つため、クエンチ局在化が確認された。