[論文レビュー] Stability for the inverse source problems in elastic and electromagnetic waves

Gang Bao, Peijun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 43被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多頻度データを用いて、弾性波および電磁波における逆源問題の一意性と安定性を確立する。積分方程式、解析接続、グリーンテンソルの漸近展開を活用することで、周波数帯域が広がるにつれて再構成誤差が減少する「増加する安定性」を証明する。これは、高周波成分の尾部が小さくなることで、ディリクレ境界条件のみで不適切な問題性を克服する。

ABSTRACT

This paper concerns the inverse source problems for the time-harmonic elastic and electromagnetic wave equations. The goal is to determine the external force and the electric current density from boundary measurements of the radiated wave field, respectively. The problems are challenging due to the ill-posedness and complex model systems. Uniqueness and stability are established for both of the inverse source problems. Based on either continuous or discrete multi-frequency data, a unified increasing stability theory is developed. The stability estimates consist of two parts: the Lipschitz type data discrepancy and the high frequency tail of the source functions. As the upper bound of frequencies increases, the latter decreases and thus becomes negligible. The increasing stability results reveal that ill-posedness of the inverse problems can be overcome by using multi-frequency data. The method is based on integral equations and analytical continuation, and requires the Dirichlet data only. The analysis employs asymptotic expansions of Green's tensors and the transparent boundary conditions by using the Dirichlet-to-Neumann maps. In addition, for the first time, the stability is established on the inverse source problems for both the Navier and Maxwell equations.

研究の動機と目的

• 弾性波および電磁波方程式における逆源問題のための一意性と安定性を確立すること。
• 多頻度データを用いて、ナビエ方程式（弾性）とマクスウェル方程式（電磁）の両方の統一的増加安定性理論を構築すること。
• 高周波数データを活用することで、逆源問題の不適切な問題性を克服し、再構成誤差を低減すること。
• ディリクレ境界条件のみを要し、ノイマン条件や制限的な源の仮定を避けること。
• スカラー・ヘルムホルツ方程式における多頻度安定性結果を、複雑な構造を有するベクトル波方程式へ拡張すること。

提案手法

• ナビエ方程式およびマクスウェル方程式の基本解（グリーンテンソル）から導かれる積分方程式を用いる。
• 波場の正則性を活用し、低周波数から高周波数へと解を解析接続することで、解を拡張する。
• 周波数領域におけるグリーンテンソルの漸近展開を用いて、低周波成分と高周波成分を分離する。
• 有透性境界条件をディリクレ・トゥ・ノイマン写像を用いて定式化し、有界領域における放射境界条件をモデル化する。
• 球面および平面境界におけるフーリエ解析を用いて、ソボレフノルムおよびトレース空間を特徴付ける。
• リッジスト型のデータ不一致と、周波数上限によって制御される減衰する高周波成分尾部を組み合わせた、画期的な安定性推定式を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多頻度データを用いた弾性波および電磁波における逆源問題について、増加する安定性を確立できるか？
• RQ2 源関数の高周波成分尾部が再構成誤差に与える影響は何か？ また、これを無視可能にできるか？
• RQ3 ディリクレ境界条件のみで安定性を達成できるか？ ノイマン条件の必要性を回避できるか？
• RQ4 弾性および電磁気学のベクトル波方程式に共通する数学的枠組みを統一できるか？
• RQ5 多頻度データは、ベクトル波系の逆源問題における不適切な問題性をどの程度低減できるか？

主な発見

• 弾性（ナビエ）および電磁（マクスウェル）波方程式における逆源問題について、一意性と安定性が厳密に確立された。
• 本稿では、新たな増加安定性推定式を証明した。周波数上限が上昇するにつれて、源関数の高周波成分尾部が減少し、再構成誤差が低減する。
• 安定性推定式は、リッジスト型のデータ不一致と、周波数帯域が広がるにつれて小さくなる高周波成分尾部から構成される。
• 本手法は、従来の研究がディリクレとノイマンの両方の境界条件を必要としたのに対し、ディリクレ境界条件のみを要する。
• 安定性境界の導出には、グリーンテンソルの漸近展開と解析接続が用いられ、解析的根拠が得られた。
• 本稿は、多頻度データを用いてナビエ方程式およびマクスウェル方程式の両方における逆源問題の安定性を初めて確立した。