[論文レビュー] Stability in the inverse source problem for elastic and electromagnetic waves with multi-frequencies

Gang Bao, Peijun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、多頻周データを用いて、弾性波および電磁波方程式における逆源問題の一意性と安定性を確立する。積分方程式、解析接続、およびディリクレ・トゥ・ノイマン写像を活用することで、周波数帯が広がるにつれて不安定性が減少することを示し、源推定における高周波成分の尾部が減少することに起因する。

ABSTRACT

This paper concerns the inverse source problems for the time-harmonic elastic and electromagnetic wave equations. The goal is to determine the external force and the electric current density from boundary measurements of the radiated wave field, respectively. The problems are challenging due to the ill-posedness and complex model systems. Uniqueness and stability are established for both of the inverse source problems. Based on either continuous or discrete multi-frequency data, a unified increasing stability theory is developed. The stability estimates consist of two parts: the Lipschitz type data discrepancy and the high frequency tail of the source functions. As the upper bound of frequencies increases, the latter decreases and thus becomes negligible. The increasing stability results reveal that ill-posedness of the inverse problems can be overcome by using multi-frequency data. The method is based on integral equations and analytical continuation, and requires the Dirichlet data only. The analysis employs asymptotic expansions of Green's tensors and the transparent boundary conditions by using the Dirichlet-to-Neumann maps. In addition, for the first time, the stability is established on the inverse source problems for both the Navier and Maxwell equations.

研究の動機と目的

• 弾性波および電磁波方程式における逆源問題の不安定性を扱う。
• 境界測定値から外部力および電流密度を再構成する際の、一意性と安定性を確立する。
• 周波数帯域が広がるにつれて安定性が向上する多頻周データの統一的フレームワークを構築する。
• ナヴィエ（弾性）およびマクスウェル（電磁）方程式に対して、初めて安定性結果を拡張する。
• 上側周波数境界が上昇するにつれて、源関数の高周波成分が無視可能になることを示す。

提案手法

• 弾性および電磁気学における時間調和波方程式を用いて逆源問題を定式化する。
• 積分方程式法および解析接続を適用し、境界データから領域内への情報伝搬を実現する。
• 透明境界条件をモデル化し境界情報の抽出にディリクレ・トゥ・ノイマン写像を用いる。
• グリーンテンソルの漸近展開を用いて、高周波数における波場の挙動を分析する。
• リプシッツ型のデータ不一致と、源の高周波成分の尾部が減少する性質を組み合わせた安定性推定を導出する。
• ノイマンデータや混合データを必要とせず、ディリクレ境界データのみに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多頻周データを用いて、弾性波および電磁波の逆源問題における一意性と安定性を確立できるか？
• RQ2 周波数帯が広がるにつれて、逆源問題の安定性はどのように向上するか？
• RQ3 源関数の高周波成分の尾部が、逆問題の不安定性に果たす役割は何か？
• RQ4 ナヴィエ方程式およびマクスウェル方程式の両者に適用可能な統一的理論フレームワークを構築できるか？
• RQ5 多頻周データを用いることで、逆問題の不安定性はどの程度軽減できるか？

主な発見

• 弾性波および電磁波方程式における逆源問題の、一意性と安定性が厳密に証明された。
• 安定性推定はリプシッツ型の項と、上側周波数境界が上昇するにつれて減少する高周波成分の尾部から構成される。
• 周波数帯が十分に広がると、高周波成分の尾部は無視可能になり、安定性が向上する。
• ディリクレ境界測定値を越える追加データを必要とせず、増加安定性を達成する。
• ナヴィエ方程式およびマクスウェル方程式の両者に対して、このような安定性結果を初めて逆源問題の文脈で確立した。
• 理論的フレームワークは統一的であり、連続的および離散的多頻周データの両方に適用可能である。