[論文レビュー] Stability index jump for cmc hypersurfaces of spheres

Óscar Perdomo, Aldir Brasil|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$n+1$-次元球面内の非全然的脐的でないコンパクトな平均曲率が一定（CMC）な超曲面の弱安定性指数が、集合 $\{1, 2, \dots, n\}$ に属しないことを証明しており、0から $n+1$ 以上の値への明確な飛躍を確立している。この結果は、ジャコビ作用素のスペクトル解析と、ガウス写像および位置ベクトルの射影を含む関数のテスト部分空間の構成によって得られ、幾何的恒等式と第二基本形式におけるコーシー＝シュワルツの不等式を用いている。

ABSTRACT

It is known that the totally umbilical hypersurfaces in the (n+1)-dimensional spheres are characterized as the only hypersurfaces with weak stability index 0. That is, a compact hypersurface with constant mean curvature, cmc, in S^{n+1}, different from an Euclidean sphere, must have stability index greater than or equal to 1. In this paper we prove that the weak stability index of any non-totally umbilical compact hypersurface M\subset S^{n+1} with cmc cannot take the values 1,2,3... n.

研究の動機と目的

• コンパクトなCMC超曲面 $M \subset S^{n+1}$ における弱安定性指数の取りうる値を特定すること。
• 非全然的脐的でない超曲面に対して、1から $n$ までの値が安定性指数のスペクトルに含まれないというギャップを解消すること。
• 全然的脐的超曲面のみが弱安定性指数 0 を持つという既知の結果を拡張し、他のすべてのCMC超曲面に対して $n+1$ 以上の明確な下界を示すこと。
• 追加の対称性や曲率の仮定に依存しない、球面上のCMC超曲面におけるジャコビ作用素のスペクトルに関する一般的な構造的結果を提供すること。

提案手法

• 弱安定性指数 $\mathrm{ind}_T(M)$ を、$C^\infty(M)$ の関数の部分空間で、関数の積分がゼロであり、二次形式 $\int_M f J(f) < 0$ を満たすような最大次元として定義する。
• 関数 $h_u = f_u + \frac{\sqrt{1+H^2}-1}{H} l_u$ を持つテスト部分空間 $V$ を構成し、$\int_M h_u = 0$ を満たす。ここで $f_u = \langle \nu, u \rangle$、$l_u = \langle \phi, u \rangle$、$u \in \mathbb{R}^{n+2}$ である。
• 既知のラプラシアンの恒等式 $\Delta l_u = -n l_u + nH f_u$ および $\Delta f_u = -|A|^2 f_u + nH l_u$ を用いて、ジャコビ作用素 $J$ が $h_u$ に作用する様子を計算する。
• 補題2.1を適用し、$\int_M |A|^2 f_u l_u$ を $\int_M f_u l_u$、$\int_M f_u^2$、$\int_M l_u^2$ の項に書き換えることで、二次形式への代入を可能にする。
• 形状作用素と単位行列にコーシー＝シュワルツの不等式を適用することで得られる不等式 $|A|^2 \geq nH^2$ を用いて、二次形式の上界を評価する。
• 非ゼロのすべての $u$ に対して $\int_M h_u J(h_u) < 0$ であることを示す。これは、$-n \int_M (f_u + H l_u)^2 < 0$ に上界が与えられ、非脐的かつ非クリフォードの仮定により厳密に負であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非全然的脐的でないコンパクトなCMC超曲面 $M \subset S^{n+1}$ に対して、弱安定性指数 $\mathrm{ind}_T(M)$ が取りうる値は何か？
• RQ2 非全然的脐的でないCMC超曲面において、$S^{n+1}$ 内で安定性指数のスペクトルに1から$n$までの値が欠落するギャップは存在するか？
• RQ3 非全然的脐的でないCMC超曲面に対して、対称性や曲率の制約に依存せず、弱安定性指数が $n+1$ 以上で下から抑えられるか？
• RQ4 非クリフォードかつ非脐的な場合に、$l_u$ および $f_u$ に比例する固有関数が存在しないことから、弱安定性指数に一様な下界が得られるか？

主な発見

• 非全然的脐的でない任意のコンパクトなCMC超曲面 $M \subset S^{n+1}$ に対して、弱安定性指数 $\mathrm{ind}_T(M)$ は $\mathrm{ind}_T(M) \geq n+1$ を満たし、1から$n$までの値はすべて除外される。
• 次元が $n+1$ 以上のテスト部分空間 $V$ の構成により、$V$ 上で二次形式 $\int_M f J(f)$ が負定値であることが保証され、下界の証明がなされる。
• 非脐的かつ非クリフォードの仮定の下で、$f_u + H l_u$ が消えないことから、$\int_M h_u J(h_u)$ の厳密な負性が保証される。これは[2]で示されている。
• 部分積分とラプラシアンの恒等式を用いて導かれた恒等式 $\int_M |A|^2 f_u l_u = n \int_M f_u l_u - nH \int_M f_u^2 + nH \int_M l_u^2$ に依存している。
• 二次形式の上界評価に不可欠な不等式 $|A|^2 \geq nH^2$ は、最終的な表現が負定値であることを保証する。
• バーボーザとド・カーモの定理（$\mathrm{ind}_T(M) = 0$ であるための必要十分条件は $M$ が全然的脐的であること）を一般化し、次に可能なインデックスが $n+1$ 以上であることを示している。