[論文レビュー] Stability issues of entropy-stable and/or split-form high-order schemes

Gregor J. Gassner, Magnus Svärd+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、エントロピー安定およびスプリット形式の高次スキームにおける重要な不安定性を特定し、非線形安定な手法であっても、エントロピー保存の2点フラックスにおける反拡散的挙動によって局所的エネルギー不安定性を示す可能性があることを示している。バーガース方程式およびオイラー方程式に対する数値実験では、高次精度とエントロピー安定性にもかかわらず、数値フラクチュエーションの指数的増大が観察され、信頼性が損なわれる。

ABSTRACT

The focus of the present research is on the analysis of local energy stability of high-order (including split-form) summation-by-parts methods, with e.g. two-point entropy-conserving fluxes, approximating non-linear conservation laws. Our main finding is that local energy stability, i.e., the numerical growth rate does not exceed the growth rate of the continuous problem, is not guaranteed even when the scheme is non-linearly stable and that this may have adverse implications for simulation results. We show that entropy-conserving two-point fluxes are inherently locally energy unstable, as they can be dissipative or anti-dissipative. Unfortunately, these fluxes are at the core of many commonly used high-order entropy-stable extensions, including split-form summation-by-parts discontinuous Galerkin spectral element methods (or spectral collocation methods). For the non-linear Burgers equation, we further demonstrate numerically that such schemes cause exponential growth of errors during the simulation. Furthermore, we encounter a similar abnormal behaviour for the compressible Euler equations, for a smooth exact solution of a density wave. Finally, for the same case, we demonstrate numerically that other commonly known split-forms, such as the Kennedy and Gruber splitting, are also locally energy unstable.

研究の動機と目的

• 非線形保存則に対するエントロピー安定およびスプリット形式の高次スキームの局所的エネルギー安定性を調査すること。
• 非線形安定性が高次手法における局所的エネルギー安定性を保証するかどうかを特定すること。
• 一般的に用いられるエントロピー安定スキームにおける数値不安定性の根本的要因、特に2点エントロピー保存フラックスに基づくものを探ること。
• このような不安定性が、バーガース方程式や圧縮性オイラー方程式のような流体力学方程式の実用的シミュレーションに与える影響を評価すること。
• ボリューム項または界面フラックスによる標準的な散逸機構が、高次精度を損なわずに局所的エネルギー安定性を回復できるかどうかを評価すること。

提案手法

• ボルン・ニューマン解析および固有値スペクトルを用いて、高次和分包摂動（SBP）スキームの線形安定性を分析する。
• 連続問題に対する数値増大率との相対的関係を検討することで、局所的エネルギー安定性条件を導出する。
• 非線形保存則に対して、スプリット形式SBP不連続ガレルキン法にエントロピー保存の2点フラックスを適用する。
• 滑らかな正確解を有する非線形バーガース方程式および圧縮性オイラー方程式に対して、数値シミュレーションを実施する。
• ケネディとグリューバーのスプリット形式を含む、さまざまなスプリット形式バリアントをテストし、エネルギー安定性特性を評価する。
• メeshの細分化がスペクトルおよび指数的増大率に与える影響を調査し、ラックス安定性の可能性を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次エントロピー安定スキームにおける非線形安定性が、局所的エネルギー安定性を保証するか？
• RQ2 なぜエントロピー保存の2点フラックスが高次スキームで反拡散的挙動を引き起こすのか？
• RQ3 ボリューム項や界面フラックスによる散逸を追加することで、スプリット形式SBPスキームにおける局所的エネルギー安定性を回復できるか？
• RQ4 メッシュの細分化が、これらのスキームにおける指数的誤差増大の大きさと発生タイミングに与える影響は何か？
• RQ5 一般的に用いられるケネディとグリューバーのスプリット形式も、同様の条件下で局所的エネルギー不安定性を示すか？

主な発見

• エントロピー保存の2点フラックスは、反拡散的挙動を示す可能性があるため、本質的に局所的エネルギー不安定である。これにより、数値フラクチュエーションの指数的増大が生じる。
• 非線形バーガース方程式の数値シミュレーションでは、非線形安定であるにもかかわらず、エントロピー安定スキームが指数的誤差増大を経験することが判明した。
• 滑らかな解を有する圧縮性オイラー方程式では、エントロピー保存およびエントロピー散逸的スプリット形式スキームが、密度フラクチュエーションの非物理的指数的増大により早期に崩壊した。
• 一般的に運動エネルギー保存に用いられるケネディとグリューバーのスプリット形式も、同じテスト条件下で局所的エネルギー不安定性を示した。
• メッシュの細分化は、誤った固有値を排除しないが、それらを高周波数にシフトさせ、指数的増大の発生タイミングを遅らせるため、h→0におけるラックス安定性の可能性を示唆している。
• 高次精度を損なわずに局所的エネルギー安定性を回復できる明確な散逸戦略は得られなかったため、現在のSBPスプリット形式スキームにおける根本的な設計的課題であることが示された。