[論文レビュー] Stability of a mixed type quadratic, cubic and quartic functional equation

M‎. ‎Eshaghi Gordji, S. Kaboli-Gharetapeh+1 more|ArXiv.org|Dec 15, 2008

Functional Equations Stability Results参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、二次、三次、四次項を組み合わせた混合型関数方程式の一般解を確立し、一般化されたハイゼル＝ウラム＝ラシア安定性を証明する。任意の解が二次、三次、四次成分に一意に分解可能であることを示し、摂動下での明示的な誤差境界を提供することで、バナッハ空間における混合関数方程式の安定性理論を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we obtain the general solution and the generalized Hyers-Ulam Rassias stability of the functional equation $$3(f(x+2y)+f(x-2y))=12(f(x+y)+f(x-y))+4f(3y)-18f(2y)+36f(y)-18f(x).$$

研究の動機と目的

• 二次、三次、四次の挙動を統合する関数方程式の一般解を特定すること。
• 多項式的成長の混合型を持つ関数方程式へのハイゼル＝ウラム＝ラシア安定性理論の拡張。
• 解の分解における二次、三次、四次成分の存在および一意性の確立。
• さまざまな制御関数に基づく近似解の明示的誤差推定の導出。
• 純粋な二次、三次、四次方程式に対する先行の安定性結果を混合ケースに一般化すること。

提案手法

• 対称性の性質を用いて、解を偶関数（二次および四次）と奇関数（三次）に分解する。
• 関数方程式 (1.5) を用いて、対称的二重加法的、三重加法的、多重加法的関数に関する条件を導出する。
• 固定点技法とスケーリング（例：x を 2^n x に置き換える）による反復近似を用いて、極限関数を構成する。
• 制御関数 φ(x,y) を含む級数に基づく主要化列と収束基準を用いて、極限の存在を証明する。
• 反復における誤差項の和をとることで安定性の境界を導出し、φ(2^i x, 2^i x) および φ(2^{i+1}x, 2^i x) の重み付き級数を用いる。
• 与えられた条件下で任意の二つの解が一致することを示すことにより、分解の一意性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二次、三次、四次項を組み合わせた混合型関数方程式の一般解は何か？
• RQ2 近似解が正確な解に近い状態に保たれる条件は何か？
• RQ3 解を二次、三次、四次成分に一意に分解する方法は何か？
• RQ4 摂動された方程式を満たす関数の近似における明示的誤差境界は何か？
• RQ5 安定性結果は、純粋な二次、三次、四次方程式に対する先行結果をどのように一般化するか？

主な発見

• 関数方程式 (1.5) の一般解は、f(x) = Q₁(x,x) + C(x,x,x) + Q₂(x,x,x,x) として一意に表され、ここで Q₁ は対称的二重加法的、C は対称的三重加法的、Q₂ は対称的多重加法的である。
• 偶関数 f が ||D_f(x,y)|| ≤ φ(x,y) を満たすとき、極限 Q₁(x) = limₙ→∞ (1/4ⁿ)[f(2ⁿ⁺¹x) - 16f(2ⁿx)] が存在し、一意な二次関数を定義する。
• 偶関数 f が同じ条件を満たすとき、極限 Q₂(x) = limₙ→∞ (1/16ⁿ)[f(2ⁿ⁺¹x) - 4f(2ⁿx)] が存在し、一意な四次関数を定義する。
• f が奇関数で f(0) = 0 を満たすとき、極限 C(x) = limₙ→∞ (1/8ⁿ)[f(2ⁿ⁺¹x) - 2f(2ⁿx)] が一意な三次関数を定義する。
• 条件 ∑(1/4^i)[φ(2^{i+1}x,2^i x) + φ(2^i x,2^i x)] < ∞ の下で、近似誤差は ||f(x) - Q₁(x) - C(x) - Q₂(x)|| ≤ (1/12)∑(1/4^i + 1/16^i)[(1/3)φ(2^{i+1}x,2^i x) + (16/3)φ(2^i x,2^i x)] + (1/6)∑(1/8^{i+1})φ(0,2^i x) + (2/3)∑(1/8^{i+1})φ(2^i x,2^i x) を満たす。
• 特別な場合 φ(x,y) = θ(||x||^p + ||y||^p) で p < 3 のとき、誤差境界は ||f(x) - Q₁(x) - C(x) - Q₂(x)|| ≤ [(33 + 2^p)/9 ⋅ (1/(4 - 2^p) + 4/(16 - 2^p)) + 3/(2(8 - 2^p))]θ||x||^p に簡略化される。
• 有界な摂動 φ(x,y) ≡ ε の場合、誤差境界はすべての x ∈ X に対して ||f(x) - Q₁(x) - C(x) - Q₂(x)|| ≤ (431/420)ε に簡略化される。