[論文レビュー] Stability of Adjointable Mappings in Hilbert $C^*$-Modules

Mohammad Sal Moslehian|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2005

Functional Equations Stability Results参考文献 12被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、固定された $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ 上のヒルベルト $C^*$-加群間の稠密に定義された随伴可能写像に対して $φ$-摂動の概念を導入し、このような写像が $\mathcal{A}$-線形かつ随伴可能で、随伴が $g$ であることを証明するとともに、これらの作用素におけるハイヤーズ＝ウラム＝ラシアス安定性を確立する。$f$ と $g$ が両方とも至る所で定義されている場合、それらは有界であることが示され、古典的安定性理論が $C^*$-加群の設定へと拡張される。

ABSTRACT

We define the notion of $\varphi$-perturbation of a densely defined adjointable mapping and prove that any such mapping $f$ between Hilbert ${\mathcal A}$-modules over a fixed $C^*$-algebra ${\mathcal A}$ with densely defined corresponding mapping $g$ is ${\mathcal A}$-linear and adjointable in the classical sense with adjoint $g$. If both $f$ and $g$ are everywhere defined then they are bounded. Our work concerns with the concept of Hyers--Ulam--Rassias stability originated from the Th.M. Rassias' stability theorem that appeared in his paper [On the stability of the linear mapping in Banach spaces, Proc. Amer. Math. Soc. 72 (1978), 297--300]. We also indicate interesting complementary results in the case where the Hilbert $C^*$-modules admit non-adjointable $C^*$-linear mappings.

研究の動機と目的

• ハイヤーズ＝ウラム＝ラシアス安定性定理をヒルベルト $C^*$-加群の文脈へと拡張すること。
• $\varphi$-摂動の概念を稠密に定義された随伴可能写像に対して定義し、分析すること。
• このような摂動写像が $\mathcal{A}$-線形かつ随伴可能で、明確に定義された随伴を持つための条件を確立すること。
• この枠組みにおいて、至る所で定義された随伴可能写像の有界性を調査すること。
• ヒルベルト $C^*$-加群における非随伴的 $C^*$-線形写像の存在とその意味を探索すること。

提案手法

• ヒルベルト $C^*$-加群間の稠密に定義された随伴可能写像に対する $\varphi$-摂動の概念を導入する。
• 古典的な随伴可能性の定義と $\mathcal{A}$-線形性を用いて、摂動写像の構造を分析する。
• ハイヤーズ＝ウラム＝ラシアス安定性の枠組みを応用し、$C^*$-加群設定における安定性条件を導出する。
• 任意の $\varphi$-摂動が、随伴が $g$ である $\mathcal{A}$-線形かつ随伴可能写像を生成することを証明する。
• $f$ と $g$ が両方とも至る所で定義されている場合、それらが有界でなければならないことを分析する。
• 非随伴的 $C^*$-線形写像が加群構造に存在する場合の補足的結果を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト $C^*$-加群間の稠密に定義された随伴可能写像に対する $\varphi$-摂動写像が、自身で随伴可能かつ $\mathcal{A}$-線形であるための条件は何か？
• RQ2 ハイヤーズ＝ウラム＝ラシアス安定性定理は、ヒルベルト $C^*$-加群における随伴可能写像にどのように適用されるか？
• RQ3 写像とその対応する随伴が両方とも至る所で定義されている場合、随伴可能性と有界性にはどのような影響が生じるか？
• RQ4 ヒルベルト $C^*$-加群に非随伴的 $C^*$-線形写像が存在しうるか、そしてそれらが安定性に与える影響は何か？
• RQ5 基になる $C^*$-代数が固定されている場合、摂動枠組みにおいてどのような構造的性質が現れるか？

主な発見

• ヒルベルト $C^*$-加群間の稠密に定義された随伴可能写像 $f$ の任意の $\varphi$-摂動は、$\mathcal{A}$-線形かつ随伴可能で、随伴が $g$ である。
• $f$ とその対応する写像 $g$ が両方とも至る所で定義されている場合、$f$ は有界である。
• ハイヤーズ＝ウラム＝ラシアス安定性の枠組みは、$\varphi$-摂動を介してヒルベルト $C^*$-加群の設定へと成功裏に拡張された。
• 摂動写像 $f$ の随伴は正確に $g$ であり、随伴構造の整合性が保証される。
• 非随伴的 $C^*$-線形写像が存在する場合、本稿はそれらの構造的および安定性的意味について補足的結果を提供する。
• 安定性結果は固定された $C^*$-代数 $\mathcal{A}$ に対して確立されており、加群枠組み全体に一貫性が保たれる。