[論文レビュー] Stability of an abstract-wave equation with delay and a Kelvin-Voigt damping

Kaïs Ammari, Serge Nicaise+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 26, 2014

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 21被引用数 20

ひとこと要約

本稿では、周波数領域的手法とスペクトル解析を用いて、時間遅れとケルビン＝ヴォイチダンピングを有する抽象的波動方程式の指数的安定性を確立している。指数的安定性が成り立つのは、遅れ $\tau$ がダンピング係数 $a$ 以下である、すなわち $\tau \leq a$ のときであり、この条件が最適であることが示されている。

ABSTRACT

In this paper we consider a stabilization problem for the abstract-wave equation with delay. We prove an exponential stability result for appropriate damping coefficient. The proof of the main result is based on a frequency-domain approach.

研究の動機と目的

• 時間遅れが波動方程式に及ぼす不安定化効果に対処すること。これは、任意に小さな遅れに対しても、適切な定義可能性や安定性を破壊する可能性がある。
• 正の定数 $a$ を用いて、ケルビン＝ヴォイチダンピング項 $a\,BB^{*}u'$ を導入することにより、遅れが存在する状況でも定義可能性と安定性を回復すること。
• 周波数領域法を用いて、抽象的波動方程式に遅れが存在する場合の指数的安定性を、条件 $\tau \leq a$ の下で確立すること。
• 与えられた枠組みにおいて、指数的安定性のための条件 $\tau \leq a$ が最適であることを証明すること。
• 波動方程式のような偏微分方程式に適用可能な一般化された抽象的枠組みを提供すること。

提案手法

• 遅れを有する2階波動方程式を、補助変数 $z(\rho,t) = B^{*}u(t - \tau\rho)$（$\rho \in (0,1)$）を用いて1階系に変換する。
• 新しい状態ベクトル $U = (u, u', z)^T$ を定義し、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ における抽象的発展方程式 $U' = \mathcal{A}U$ として系を再定式化する。
• 半群理論を用いて、演算子 $\mathcal{A}$ が $C_0$-半群を生成することを証明し、系の定義可能性を保証する。
• 周波数領域的手法を適用して $\mathcal{A}$ のスペクトルを分析し、リゾルベントノルムおよび固有値の挙動に注目する。
• 詳細なスペクトル解析により、$\mathcal{A}$ のスペクトルが左半平面に含まれており、かつ無限遠点におけるリゾルベントの成長が遅いことを示す。
• 正規化された固有ベクトルの列に基づく背理法を用いて、$\tau \leq a$ のとき $\mathcal{A}$ が指数的安定な半群を生成することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波動方程式における時間遅れの不安定化効果は、ケルビン＝ヴォイチダンピング項を導入することで相殺可能か？
• RQ2 遅れ $\tau$ とダンピング係数 $a$ の間にどのような条件が、遅れ付き抽象的波動方程式の指数的安定性を達成するか？
• RQ3 このクラスのシステムにおいて、条件 $\tau \leq a$ が指数的安定性に対して最適であるか？
• RQ4 ケルビン＝ヴォイチダンピング項の導入が、遅れが存在する状況でも定義可能性と安定性をどのように回復するか？
• RQ5 周波数領域法は、遅れとダンピングを有する抽象的波動方程式の安定性を効果的に分析するために適用可能か？

主な発見

• 系 (1.1)–(1.3) は、ケルビン＝ヴォイチダンピング係数 $a > 0$ に対して $\tau \leq a$ のとき、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ において指数的安定である。
• 系のエネルギーは指数的に減衰する：ある $M, \omega > 0$ に対して $E(t) \leq M e^{-\omega t} E(0)$ が成り立ち、$\omega$ は $a$、$\tau$、およびスペクトル特性に依存する。
• 条件 $\tau \leq a$ が最適である。スペクトル解析と背理法により、$\tau > a$ のとき指数的安定性が成立しないことが示されている。
• 証明は、周波数領域手法と、無限小生成作用素 $\mathcal{A}$ の精密なスペクトル解析に依拠しており、スペクトルが左半平面に含まれていることを示している。
• 定義可能性は、$\mathcal{A} - a_*^{-1}I$ が適切な $a_*$ に対して最大分散的であることを証明することで、半群理論により確立されている。これにより $C_0$-半群の存在が保証される。
• 結果は、有界領域 $\Omega$ における波動方程式 $u_{tt} - a\Delta u_t - \Delta u(x,t - \tau) = 0$ に適用され、ディリクレ境界条件のもとで $\tau \leq a$ のとき指数的安定性が確認された。