[論文レビュー] Stability of an upwind Petrov Galerkin discretization of convection diffusion equations

Snorre H. Christiansen, Tore Gunnar Halvorsen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2014

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、拡散係数が小さい（対流優勢な）状態における対流-拡散方程式に、上流化されたペトロフ・ガレルキン有限要素法の安定性を確立する。非等方的H^{1/2}ノルムとエネルギー型項を用いることで、メッシュサイズおよび粘性係数に関して一様に、境界層が存在する場合でも対数因子を除き連続性およびインフラ・スアップ条件を証明する。

ABSTRACT

We study a numerical method for convection diffusion equations, in the regime of small viscosity. It can be described as an exponentially fitted conforming Petrov-Galerkin method. We identify norms for which we have both continuity and an inf-sup condition, which are uniform in mesh-width and viscosity, up to a logarithm, as long as the viscosity is smaller than the mesh-width or the crosswind diffusion is smaller than the streamline diffusion. The analysis allows for the formation of a boundary layer.

研究の動機と目的

• 対流優勢な状態における対流-拡散方程式のペトロフ・ガレルキン法の、メッシュサイズおよび粘性係数に関して一様な安定性を確立すること。
• 流出境界に境界層が形成される状況を許容する条件下での手法の分析。
• 連続性およびインフラ・スアップ条件が、粘性係数に関して一様に成り立つノルム（特に非等方的H^{1/2}およびエネルギーノルム）を同定すること。
• 一次元の安定性技法を、横方向拡散を含む多次元問題へと拡張すること。
• 特にメッシュが整列している場合に適した、有限要素外微分計算および指数的フィッティングに基づく有限要素法の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• 試行関数空間は適合型ガレルキン空間であり、局所的随伴問題を解くことで得られる上流化された試験関数空間を用いる。
• 粘性係数に依存する試験関数を用いたペトロフ・ガレルキン型弱形式であり、対流優勢な流れの指数的フィッティングを模倣する。
• 解析は[3]にインspiredされた放物型モデルに依拠しており、時間変数を流れ方向に一致する空間変数として扱う。
• 主な道具はヒルベルト変換および不連続関数を扱える、H^{1/2}の変種である臨界的Besov空間（H^{1/2}_{00}）であり、境界層の挙動を捉える。
• 連続性およびインフラ・スアップの推定は、区分定数関数への射影および区分アフィン関数から上流化関数へのノード補間を用いて導出される。
• 多次元では、横方向拡散を考慮するためPéclet数の条件を導入し、非等方的拡散項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 上流化された試験関数を用いたペトロフ・ガレルキン法は、対流優勢な状態で一様な安定性を達成できるか？
• RQ2 粘性係数が0に近づくとき、連続性およびインフラ・スアップ安定性を保証するノルムは何か？
• RQ3 境界層の厚さがメッシュサイズより小さい場合、流出領域における境界層はどのように扱われるか？
• RQ4 一次元の安定性フレームワークは、どの程度多次元の対流-拡散問題へと拡張可能か？
• RQ5 横方向拡散が存在する場合、Péclet数は安定性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• ノルム$\|u\|_{\alpha} = \|u\|_{\mathrm{H}^{1/2}_{00}(0,T)\otimes\mathrm{L}^{2}(V)} + \alpha^{1/2}\|\nabla u\|_{\mathrm{L}^{2}(U)}$において、粘性係数に関して対数因子を除き、メッシュサイズおよび粘性係数に関して一様に連続性およびインフラ・スアップ条件が成立する。
• Péclet数が十分に大きく、または横方向拡散が流れ方向拡散に比べて小さい場合には、インフラ・スアップ条件がメッシュサイズおよび粘性係数に関して一様に成り立つ。
• 境界層が存在する場合でも安定性推定はロバストであり、指数的境界層プロファイルのH^{1/2}_{00}ノルムの挙動によって示された。
• ノルム$\|v\|_{\alpha}^{\prime} = \|v\|_{\mathrm{H}^{1/2}(0,T)\otimes\mathrm{L}^{2}(V)} + \alpha^{1/2}\|\nabla v\|_{\mathrm{L}^{2}(U)}$は、構築された試験関数に関して$\|v\|_{\alpha}^{\prime} \preccurlyeq |\log(\alpha)|\|u\|_{\alpha}$を満たす。
• 双線形形式は$\int \beta \dot{u} v + \int \gamma u v + \alpha \int \nabla u \cdot \nabla v \succcurlyeq \|u\|_{\alpha}^2$を満たし、対数因子を除きインフラ・スアップ条件が確認される。
• 解析により、典型的な境界層解におけるH^{1/2}_{00}ノルムの$|\log(\alpha)|^{1/2}$の発散により、$\alpha$に依存しないインフラ・スアップ条件は不可能であることが示された。