[論文レビュー] Stability of analytical solutions and convergence of numerical methods for non-linear stochastic pantograph differential equations

Minghui Song, Yulan Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非線形確率パントグラフ微分方程式（SPDEs）に対する半陽的エーラー法の収束を証明し、解析解の多項式安定性の十分条件を確立する。リプシッツ型の条件の下で、平均二乗およびほとんど確実に多項式安定性を導出し、ドリフト項および拡散項の係数に適切な仮定をおくと、平均二乗および平均の意味で2次収束性および収束性を示し、収束次数は $ O(h^{1/2}) $ である。

ABSTRACT

In this paper, we study the polynomial stability of analytical solution and convergence of the semi-implicit Euler method for non-linear stochastic pantograph differential equations. Firstly, the sufficient conditions for solutions to grow at a polynomial rate in the sense of mean-square and almost surely are obtained. Secondly, the consistence and convergence of this method are proved. Furthermore, the orders of consistence (in the sense of average and mean-square) and convergence are given, respectively.

研究の動機と目的

• 非線形確率パントグラフ微分方程式（SPDEs）の解析解の多項式安定性を分析すること。
• 解が平均二乗およびほとんど確実に多項式的成長を示すような十分条件を確立すること。
• パントグラフ型遅れを有するSPDEsに対する半陽的エーラー法の整合性および収束性を調査すること。
• 数値的手法の平均二乗および平均の意味での整合性および収束次数を導出すること。

提案手法

• 確率微分方程式に対するリャプノフ型汎関数および比較原理を用いて、多項式安定性の十分条件を導出する。
• 半陽的エーラー法を用いてSPDEを離散化し、パラメータ $ \theta \in [0,1] $ が陰性化の度合いを制御する。
• 伊藤の公式およびモーメント推定を用いて、正確解と数値解の間の誤差を評価する。
• 条件付き期待値およびマルティンゲール性質を含む再帰的不等式を用いて誤差の境界を確立する。
• グローヴァル型の議論および確率的推定を用いて、誤差の時間的伝播を制御する。
• 時間グリッド上の最大誤差を評価することで、平均二乗意味での収束次数 $ O(h^{1/2}) $ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パントグラフ遅れを有する非線形SPDEsの解が、平均二乗意味で多項式安定性を示す条件は何か？
• RQ2 このようなSPDEsにおけるゼロ解のほとんど確実な多項式安定性を保証する十分条件は何か？
• RQ3 半陽的エーラー法は、これらの微分方程式に対して整合性および収束性においてどのように動作するか？
• RQ4 半陽的エーラー法の平均二乗および平均の意味での整合性および収束次数は何か？
• RQ5 ドリフト項および拡散項の係数のリプシッツ性は、収束挙動にどのように影響するか？

主な発見

• ドリフト項および拡散項の係数が特定のリプシッツ条件を満たし、かつシステムパラメータが $ \bar{a} + \bar{b} q^\alpha = 0 $ を満たし、$ \alpha < 0 $ であるとき、ゼロ解は平均二乗多項式安定である。
• 同じリプシッツ条件の下で、ほとんど確実な多項式安定性が成立し、解はほとんど確実に $ t^\alpha $ の割合で減少する。
• 半陽的エーラー法は、平均の意味で $ O(h) $ の整合性を示し、平均二乗の意味で $ O(h^{1/2}) $ の整合性を示す。
• 法は平均二乗の意味で $ O(h^{1/2}) $ の収束次数を示し、時間区間 $[0,T]$ 全体にわたって一様に成り立つ。
• 収束結果は $ \theta \in [0,1] $ に対して成り立ち、誤差境界は遅延比 $ q \in (0,1) $ に依存せず、$ h $ が十分に小さい限り成立する。
• 誤差推定は時間に一様であり、初期条件および係数のリプシッツ定数に依存する。