[論文レビュー] Stability of anti-canonically balanced metrics

Shunsuke Saito, Ryosuke Takahashi|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Fano多様体上のBergman geodesic rayに沿った量子化Ding汎関数の勾配公式を確立し、その漸近的挙動をDonaldson-Futaki不変量とChow重みと関連付ける。反標準的平衡計量の存在が示す新しい代数幾何的安定性—F安定性—を定義し、Kähler-Einstein計量からのずれの$L^q$ノルムに対する下界推定を示す。

ABSTRACT

We study the asymptotic behavior of quantized Ding functionals along Bergman geodesic rays and prove that the slope at infinity can be expressed in terms of Donaldson-Futaki invariants and Chow weights. Based on the slope formula, we introduce a new algebro-geometric stability on Fano manifolds and show that the existence of anti-canonically balanced metrics implies our stability. The relation between our stability and others is also discussed. As another application of the slope formula, we get the lower bound estimate on the Calabi like functionals on Fano manifolds.

研究の動機と目的

• Fano多様体上でのBergman geodesic rayに沿った量子化Ding汎関数の漸近的挙動を理解すること。
• 勾配公式とその平衡計量との関係に基づき、新しい代数幾何的安定性（F安定性）を定義すること。
• Kähler-Einstein計量からのずれを測る関数の$L^q$ノルムに対する下界推定を確立すること。
• F安定性、Chow安定性、およびK安定性などの既知の安定性概念との関係を明確にすること。

提案手法

• テスト配置と量子化Futaki不変量を用いて、Bergman geodesic rayに沿った量子化Ding汎関数の勾配公式を導出する。
• Donaldson-Futaki不変量とChow重みを統合する主要不変量として、量子化Futaki不変量$Fut_k(\mathcal{X},\mathcal{L})$を導入する。
• 勾配公式の非負性を用いて、レベル$k$におけるF多様体的安定性を定義し、Chow安定性を一般化する。
• Hölderの不等式と漸近的解析を用いて、Kähler-Einstein計量からのずれを測る関数$B(\phi)$の$L^q$ノルムを推定する。
• $H^0(X, -kK_X)$上の$\mathbb{C}^*$作用を用い、無限小生成子$A$を汎関数の勾配に関連付ける。
• テスト配置の$p$ノルムと$m$に関する漸近展開を用いて、$||B(\phi)||_{L^q}$の下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Bergman geodesic rayに沿った量子化Ding汎関数の無限遠における勾配は、代数幾何的不変量とどのように関係するか？
• RQ2 反標準的$k$-平衡計量の存在とF安定性の間には、明確な関係があるか？
• RQ3 F安定性はChow安定性やK安定性などの他の安定性概念と比べて、どのように異なるか？
• RQ4 関数$B(\phi)$の$L^q$ノルムは、幾何的不変量の観点から下から抑えられるか？
• RQ5 中心ファイバーの特異性と$\mathbb{Q}$-Gorenstein条件は、勾配公式において果たす役割は何か？

主な発見

• 量子化Ding汎関数の無限遠における勾配は、$\frac{Fut_k(\mathcal{X},\mathcal{L})}{kN_k} - q$で与えられ、ここで$q$は中心ファイバーに依存する非負の有理数である。
• 量$q$が消えるのは、テスト配置が$\mathbb{Q}$-Gorensteinであり、$\mathcal{L} \cong -kK_{\mathcal{X}/\mathbb{C}}$であり、中心ファイバーが至るところ対数終票特異性をもつとき、かつそのときに限る。
• 反標準的$k$-平衡計量の存在は、レベル$k$におけるF多様体的安定性を示し、解析的安定性と代数幾何的安定性の間の関係を確立する。
• 漸近的Chow多様体的安定性は漸近的F多様体的安定性を含むため、F安定性はChow安定性より弱い条件であることが示される。
• $B(\phi)$の$L^q$ノルムに対する下界が確立される：$||B(\phi)||_{L^q(\omega_\phi^n/n!)} \geq -DF(\mathcal{X},\mathcal{L}) + O(m^{-1})$（$m \to \infty$のとき）、ここで$DF$はDonaldson-Futaki不変量である。
• この下界は、テスト配置の$p$ノルムと行列$\underline{M}(H)$の$q$ノルムの漸近的解析を経て得られ、Donaldson-Futaki不変量を用いた一様な下界が得られる。