[論文レビュー] Stability of C^*-algebra associated with the twisted CCR

Daniil Proskurin, Yu. S. Samoĭlenko|ArXiv.org|Dec 27, 2001

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、任意の μ ∈ (−1, 1) に対して、ねじれ canonical commutation relations (TCCR) に関連する universal C*-代数が、特定の関係を満たす部分等長射影から生成される C*-代数と同型であることを確立している。さらに、この代数の Fock 表現が忠実であることを証明し、全パrameter範囲にわたる TCCR C*-代数の完全な構造的および表現論的特徴付けを提供している。

ABSTRACT

The $C^*$-algebra associated with the twisted CCR constructed by W. Pusz and S.L. Woronowicz is considered. It is proved that the $C^*$-algebras corresponding to different values of parameter $0<=μ<1$ are isomorphic. It is proved that Fock representation is faithful on both *-algebra and $C^*$-algebra levels.

研究の動機と目的

• μ ∈ (−1,1) に対して、ねじれ canonical commutation relations (TCCR) に関連する universal C*-代数 Aμ の構造を特定すること。
• Aμ と、特定の関係を満たす部分等長射影から生成される C*-代数 A0 の間の同型を確立すること。
• Aμ の Fock 表現が忠実であることを証明し、表現が代数的構造を完全に捉えていることを保証すること。

提案手法

• Aμ の生成子に対して極分解を構成し、帰納的手続きにより部分等長射影 {t̂i} の族を定義すること。
• 部分等長射影 {t̂i} が関係 t̂i*tj = δij(1 − ∑k<i t̂k t̂k*) および i ≠ j のとき t̂j t̂i = 0 を満たすことを証明すること。
• C*-代数の普遍性を用いて A0 と Aμ 間の全単射なホモモーフィズムを定義し、互いに逆写像であることを示し、同型を確立すること。
• l2(ℕ) 上の単一的シフト S を含むテンソル積分解を用いて、A0 の既約表現を分析すること。
• A0 の任意の既約表現 C*-代数への Fock 表現 C*-代数からのホモモーフィズムを確立し、制限およびテンソル積構造を用いて忠実性を証明すること。
• C*(S,S*) ≅ T(C(𝕋)) の核型性を活用して、C*-代数のテンソル積間の必要なホモモーフィズムを定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての μ ∈ (−1,1) に対して、ねじれ CCR C*-代数 Aμ はより単純な C*-代数と同型であるか？
• RQ2 Aμ の Fock 表現は、全パrameter範囲 μ ∈ (−1,1) にわたり忠実のままであるか？
• RQ3 Aμ の構造は、μ とは無関係に標準的関係を満たす部分等長射影を用いて完全に記述可能か？
• RQ4 A0 の既約表現は、C*-代数埋め込みの観点から Fock 表現とどのように関係しているか？

主な発見

• すべての μ ∈ (−1,1) に対して、C*-代数 Aμ は、関係 t̂i*tj = δij(1 − ∑k<i t̂k t̂k*) および i ≠ j のとき t̂j t̂i = 0 を満たす部分等長射影から生成される universal C*-代数 A0 と同型である。
• Aμ の Fock 表現は忠実であり、これは Aμ がヒルベルト空間上の有界作用素への単射写像を定めることを意味する。
• Aμ と A0 間の同型は、極分解から得られる明示的なホモモーフィズムおよび部分等長射影の帰納的定義によって確立されている。
• A0 の既約表現は、シフトと射影のテンソル積による分類が可能であり、Fock 表現は j = d の場合に一致する。
• Fock 表現の忠実性は、Fock C*-代数から任意の既約表現 C*-代数への C*-代数ホモモーフィズムを構成し、核が自明であることを示すことによって証明されている。
• A0 の構造は、単一的シフト S と射影を用いた一様な表現記述を可能にし、忠実性のための必要なホモモーフィズムの構成を可能としている。