[論文レビュー] Stability of direct images under Frobenius morphism

Xiaotao Sun|ArXiv.org|Aug 2, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正の特性における滑らかで射影的な多様体上のベクトル束に対して、フロベニウス準同型写像の下での直接像の安定性を確立する。曲線に対して定義された標準的フィルトレーションを、標準的接続を用いて高次元多様体へ一般化し、フィルトレーションの各階層が $ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ に同型であることを証明する。また、曲線の場合に $ W $ の安定性が $ F_*W $ の安定性を導くことを示し、高次元への解析の基盤を築く。

ABSTRACT

Let $X$ be a smooth projective variety over an algebraically field $k$ with ${ m char}(k)=p>0$ and $F:X o X_1$ be the relative Frobenius morphism. When ${ m dim}(X)=1$, we prove that $F_*W$ is a stable bundle for any stable bundle $W$ (Theorem ef{thm1.3}). As a step to study the question for higher dimensional $X$, we generalize the canonical filtration (defined by Joshi-Ramanan-Xia-Yu for curves) to higher dimensional $X$ (Theorem ef{thm2.6}).

研究の動機と目的

• 曲線から高次元多様体へ、正の特性における安定束 $ W $ の $ F_*W $ の安定性結果を拡張すること。
• ジョシュ＝ラマナサン＝シャー＝ユウが曲線に対して定義した標準的フィルトレーションを、高次元の滑らかで射影的な多様体へ一般化すること。
• 標準的接続 $ \nabla $ を用いて、フィルトレーション $ 0 = V_{n(p-1)+1} \subset \cdots \subset V_0 = F^*(F_*W) $ を定義し、研究すること。
• 階層 $ V_i/V_{i+1} \cong W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ の構造を解析すること。ここで $ (\Omega^1_X)^{[i]} $ は $ \mathrm{GL}(n) $-表現論を用いて定義される部分束である。
• 高次元において $ F_*W $ の不安定性を、$ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ の不安定性の観点から評価する枠組みを提供すること。

提案手法

• $ p $-曲率がゼロである接続 $ \nabla: V \to V \otimes \Omega^1_X $ を用いて、$ V = F^*(F_*W) $ 上に標準的フィルトレーションを定義する。
• 曲線の場合の一般化として、$ V_{i+1} = \ker(V_i \xrightarrow{\nabla} V \otimes \Omega^1_X \to V/V_i \otimes \Omega^1_X) $ によりフィルトレーションを構成する。
• $ k[[x_1, \dots, x_n]] $ における局所的計算を用いて、$ I_i $ が $ \sum k_j \geq i $ を満たす単項式 $ \alpha_1^{k_1} \cdots \alpha_n^{k_n} $ により生成されることを示す。ここで $ \alpha_j = x_j \otimes 1 - 1 \otimes x_j $ である。
• $ (\Omega^1_X)^{[i]} \subset (\Omega^1_X)^{\otimes i} $ を、$ \mathrm{GL}(n) $-表現 $ V^{[i]} $ に付随する部分束と定義する。$ V^{[i]} $ は指数が $ \leq p-1 $ である対称テンソルで張られる。
• $ \nabla^i: V_i/V_{i+1} \to (\Omega^1_X)^{\otimes i} $ が、$ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ に値をとるように因数分解され、同型を与えることを証明する。
• $ \mathcal{E} \subset F_*W $ である任意の部分層に対して $ F^*\mathcal{E} \subset F^*(F_*W) $ に誘導されるフィルトレーションを用い、スロープを比較することで安定性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の特性 $ p > 0 $ における滑らかで射影的な曲線 $ X $ 上のベクトル束 $ W $ の安定性は、相対的フロベニウス準同型写像の下での直接像 $ F_*W $ の安定性を示唆するか？
• RQ2 曲線における $ F^*(F_*W) $ の標準的フィルトレーションは、標準的接続を用いて高次元多様体へ一般化可能か？
• RQ3 次元 $ n > 1 $ の高次元多様体 $ X $ に対して、$ F^*(F_*W) $ の一般化されたフィルトレーションにおける階層 $ V_i/V_{i+1} $ の構造は何か？
• RQ4 高次元において $ F_*W $ の不安定性は、$ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ の不安定性とどのように関係するか？
• RQ5 $ W $ が半安定であるとき、$ F^*(F_*W) $ のフィルトレーションはハーディング＝ナラシンハン・フィルトレーションと整合性を示すか？

主な発見

• 曲線（$ \dim X = 1 $）の場合、$ W $ が安定であれば $ F_*W $ も安定である。これは標準的フィルトレーションとスロープ比較を用いて証明される。
• 標準的フィルトレーションは、$ p $-曲率がゼロである接続 $ \nabla $ を用いて高次元へ一般化され、長さ $ n(p-1)+1 $ のフィルトレーションをもたらす。
• 階層は $ V_i/V_{i+1} \cong W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ を満たす。ここで $ (\Omega^1_X)^{[i]} \subset (\Omega^1_X)^{\otimes i} $ は、指数が有界された対称テンソルで生成される $ \mathrm{GL}(n) $-部分表現である。
• 正の特性 $ p > 0 $ において、$ i < p $ のとき $ (\Omega^1_X)^{[i]} \cong \mathrm{Sym}^i(\Omega^1_X) $ であるが、一般には $ i \geq p $ のとき異なる。
• $ \nabla^i: V_i/V_{i+1} \to (\Omega^1_X)^{\otimes i} $ は単射であり、$ V_i/V_{i+1} $ を $ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ に同型に特定する。これによりフィルトレーションの構造が確立される。
• この構成により、$ F_*W $ の不安定性を $ W \otimes (\Omega^1_X)^{[i]} $ の不安定性の観点から評価する枠組みが得られ、高次元における安定性結果の出発点が提供される。